Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 4 y^{3} \cos^{2} (x)$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (4 y^{3} \cos^{2} (x))$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{y^{3}} (y^{3} \cos^{2} (x))$

Etapa 1.2.2

Combine $4$ e $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{3}} (y^{3} \cos^{2} (x))$

Etapa 1.2.3

Cancele o fator comum de $y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Fatore $y^{3}$ de $y^{3} \cos^{2} (x)$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{3}} (y^{3} (\cos^{2} (x)))$

Etapa 1.2.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{3}} (y^{3} \cos^{2} (x))$

Etapa 1.2.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = 4 \cos^{2} (x)$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{3}} d y = 4 \cos^{2} (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Mova $y^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 3}$ com relação a $y$ é $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.2.3.1

Reescreva $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ como $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{y^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Etapa 2.2.3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int \cos^{2} (x) d x$

Etapa 2.3.2

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (x)$ como $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x)$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

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Etapa 2.3.4.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{4}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Etapa 2.3.4.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Etapa 2.3.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Etapa 2.3.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Etapa 2.3.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2}{1} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Etapa 2.3.4.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 \int 1 + \cos (2 x) d x$

Etapa 2.3.5

Divida a integral única em várias integrais.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Etapa 2.3.6

Aplique a regra da constante.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \int \cos (2 x) d x)$

Etapa 2.3.7

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.7.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.7.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3.7.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.3.7.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.3.7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 2.3.8

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 2.3.9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Etapa 2.3.10

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{3}))$

Etapa 2.3.11

Simplifique.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{4}$

Etapa 2.3.12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C_{4}$

Etapa 2.3.13

Simplifique.

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Etapa 2.3.13.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C_{4}$

Etapa 2.3.13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 x + 2 \frac{\sin (2 x)}{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.13.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.13.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 x + 2 \frac{\sin (2 x)}{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.13.3.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 x + \sin (2 x) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x + \sin (2 x) + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$2 y^{2}, 1, 1, 1$

Etapa 3.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$2 y^{2}$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x + \sin (2 x) + K$ por $2 y^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x + \sin (2 x) + K$ por $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2 y^{2}$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2 y^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Etapa 3.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 1 = 2 \cdot 2 x y^{2} + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Etapa 3.2.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- 1 = 4 x y^{2} + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Etapa 3.2.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 1 = 4 x y^{2} + 2 \sin (2 x) y^{2} + K (2 y^{2})$

Etapa 3.2.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 1 = 4 x y^{2} + 2 \sin (2 x) y^{2} + 2 K y^{2}$

Etapa 3.2.3.2

Reordene os fatores em $4 x y^{2} + 2 \sin (2 x) y^{2} + 2 K y^{2}$ .

$- 1 = 4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2}$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$ .

$4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$

Etapa 3.3.2

Fatore $2 y^{2}$ de $4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Fatore $2 y^{2}$ de $4 x y^{2}$ .

$2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$

Etapa 3.3.2.2

Fatore $2 y^{2}$ de $2 y^{2} \sin (2 x)$ .

$2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$

Etapa 3.3.2.3

Fatore $2 y^{2}$ de $2 K y^{2}$ .

$2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 y^{2} K = - 1$

Etapa 3.3.2.4

Fatore $2 y^{2}$ de $2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x)$ .

$2 y^{2} (2 x + \sin (2 x)) + 2 y^{2} K = - 1$

Etapa 3.3.2.5

Fatore $2 y^{2}$ de $2 y^{2} (2 x + \sin (2 x)) + 2 y^{2} K$ .

$2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K) = - 1$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K) = - 1$ por $2 (2 x + \sin (2 x) + K)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K) = - 1$ por $2 (2 x + \sin (2 x) + K)$ .

$\frac{2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 x + \sin (2 x) + K} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Etapa 3.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $2 x + \sin (2 x) + K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 x + \sin (2 x) + K} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Etapa 3.3.3.2.2.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = - \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Etapa 3.3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

Etapa 3.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

Etapa 3.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

Etapa 3.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$