Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 7 y^{- 2}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{- 2}}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (7 y^{- 2})$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{y^{- 2}} y^{- 2}$

Etapa 1.2.2

Mova $y^{- 2}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 7 y^{2} y^{- 2}$

Etapa 1.2.3

Multiplique $y^{2}$ por $y^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.3.1

Mova $y^{- 2}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 7 (y^{- 2} y^{2})$

Etapa 1.2.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 7 y^{- 2 + 2}$

Etapa 1.2.3.3

Some $- 2$ e $2$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 7 y^{0}$

Etapa 1.2.4

Simplifique $7 y^{0}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 7$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{- 2}} d y = 7 d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{- 2}} d y = \int 7 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Mova $y^{- 2}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int y^{2} d y = \int 7 d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int 7 d x$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 7 x + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = 7 x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (7 x + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (7 x + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (7 x + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{3} = 3 (7 x + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $3 (7 x + K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{3} = 3 (7 x) + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $7$ por $3$ .

$y^{3} = 21 x + 3 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{21 x + 3 K}$

Etapa 3.4

Fatore $3$ de $21 x + 3 K$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $3$ de $21 x$ .

$y = \sqrt[3]{3 (7 x) + 3 K}$

Etapa 3.4.2

Fatore $3$ de $3 (7 x) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (7 x + K)}$