Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y)}{(1 - x)}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{1 - y}$ .

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} \cdot \frac{1 - y}{1 - x}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $1 - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} \cdot \frac{1 - y}{1 - x}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - x}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{1 - y} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{1 - y} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u_{1} = 1 - y$ . Depois, $d u_{1} = - d y$ , então, $- d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u_{1} = 1 - y$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 2.2.1.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 2.2.2

Divida a fração em diversas frações.

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 - y$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Deixe $u_{2} = 1 - x$ . Depois, $d u_{2} = - d x$ , então, $- d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Deixe $u_{2} = 1 - x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 2.3.1.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.2

Divida a fração em diversas frações.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.4

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 - x$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \ln (| 1 - y |) = - \ln (| 1 - x |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- \ln (| 1 - y |) + \ln (| 1 - x |) = C$

Etapa 3.2

Subtraia $\ln (| 1 - x |)$ dos dois lados da equação.

$- \ln (| 1 - y |) = C - \ln (| 1 - x |)$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $- \ln (| 1 - y |) = C - \ln (| 1 - x |)$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $- \ln (| 1 - y |) = C - \ln (| 1 - x |)$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 1 - y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\ln (| 1 - y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Etapa 3.3.2.2

Divida $\ln (| 1 - y |)$ por $1$ .

$\ln (| 1 - y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - y |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Etapa 3.3.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| 1 - y |) = - C + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Etapa 3.3.3.1.3

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\ln (| 1 - y |) = - C + \frac{\ln (| 1 - x |)}{1}$

Etapa 3.3.3.1.4

Divida $\ln (| 1 - x |)$ por $1$ .

$\ln (| 1 - y |) = - C + \ln (| 1 - x |)$

Etapa 3.4

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| 1 - y |) - \ln (| 1 - x |) = - C$

Etapa 3.5

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |}) = - C$

Etapa 3.6

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |})} = e^{- C}$

Etapa 3.7

Reescreva $\ln (\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |}) = - C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| 1 - y |}{| 1 - x |}$

Etapa 3.8

Resolva $y$ .

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Etapa 3.8.1

Reescreva a equação como $\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} = e^{- C}$ .

$\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} = e^{- C}$

Etapa 3.8.2

Multiplique os dois lados por $| 1 - x |$ .

$\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{- C} | 1 - x |$

Etapa 3.8.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.8.3.1

Cancele o fator comum de $| 1 - x |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{- C} | 1 - x |$

Etapa 3.8.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| 1 - y | = e^{- C} | 1 - x |$

Etapa 3.8.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1

Reordene os fatores em $e^{- C} | 1 - x |$ .

$| 1 - y | = | 1 - x | e^{- C}$

Etapa 3.8.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$1 - y = \pm | 1 - x | e^{- C}$

Etapa 3.8.4.3

Reordene os fatores em $\pm | 1 - x | e^{- C}$ .

$1 - y = \pm e^{- C} | 1 - x |$

Etapa 3.8.4.4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- y = \pm e^{- C} | 1 - x | - 1$

Etapa 3.8.4.5

Divida cada termo em $- y = \pm e^{- C} | 1 - x | - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.5.1

Divida cada termo em $- y = \pm e^{- C} | 1 - x | - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.8.4.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.5.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.8.4.5.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.8.4.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.5.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{- C} | 1 - x |) + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.8.4.5.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (\pm e^{- C} | 1 - x |)$ como $- (\pm e^{- C} | 1 - x |)$ .

$y = - (\pm e^{- C} | 1 - x |) + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.8.4.5.3.1.3

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$y = - (\pm e^{- C} | 1 - x |) + 1$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = - (\pm C | 1 - x |) + 1$

Etapa 4.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = - (C | 1 - x |) + 1$