Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}} + 12$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (- \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}} + 12) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int - \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}} + 12 d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}} + 12 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

Etapa 2.3.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

Etapa 2.3.3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.3.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$y + C_{1} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

Etapa 2.3.3.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

Etapa 2.3.3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - \int x^{- 2} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

Etapa 2.3.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - \int \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

Etapa 2.3.6

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - (3 \int \frac{1}{x^{4}} d x) + \int 12 d x$

Etapa 2.3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.7.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 \int \frac{1}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

Etapa 2.3.7.2

Mova $x^{4}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 \int {(x^{4})}^{- 1} d x + \int 12 d x$

Etapa 2.3.7.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.7.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 \int x^{4 \cdot - 1} d x + \int 12 d x$

Etapa 2.3.7.3.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 \int x^{- 4} d x + \int 12 d x$

Etapa 2.3.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 4}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C_{3}) + \int 12 d x$

Etapa 2.3.9

Simplifique.

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Etapa 2.3.9.1

Combine $x^{- 3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C_{3}) + \int 12 d x$

Etapa 2.3.9.2

Mova $x^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{3}) + \int 12 d x$

Etapa 2.3.10

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

Etapa 2.3.11

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + 12 x + C_{5}$

Etapa 2.3.12

Reordene os termos.

$y + C_{1} = 12 x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + C_{5}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = 12 x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + K$