Cálculo Exemplos

$x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (8 x + 1)$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (8 x + 1)$ por $x^{2}$ e simplifique.

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Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (8 x + 1)$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d w}{d x}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{w} (8 x + 1)}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} \frac{d w}{d x}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{w} (8 x + 1)}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d w}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d w}{d x} = \frac{\sqrt{w} (8 x + 1)}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d w}{d x} = \sqrt{w} \frac{8 x + 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\sqrt{w}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{1}{\sqrt{w}} (\sqrt{w} \frac{8 x + 1}{x^{2}})$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $\sqrt{w}$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{1}{\sqrt{w}} (\sqrt{w} \frac{8 x + 1}{x^{2}})$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{8 x + 1}{x^{2}}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\sqrt{w}} d w = \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{w}} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{w}$ como $w^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{w^{\frac{1}{2}}} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.1.2

Mova $w^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(w^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(w^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int w^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.1.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int w^{\frac{- 1}{2}} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.1.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int w^{- \frac{1}{2}} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $w^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $w$ é $2 w^{\frac{1}{2}}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.1.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (8 x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (8 x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (8 x + 1) x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.2

Multiplique $(8 x + 1) x^{- 2}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.1

Multiplique $x$ por $x^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.3.1.1

Mova $x^{- 2}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 (x^{- 2} x) + 1 x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.3.1.2

Multiplique $x^{- 2}$ por $x$ .

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Etapa 2.3.3.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 (x^{- 2} x^{1}) + 1 x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 x^{- 2 + 1} + 1 x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.3.1.3

Some $- 2$ e $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.3.2

Multiplique $x^{- 2}$ por $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 x^{- 1} + x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.5

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 8 \int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.6

A integral de $x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 8 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 8 (\ln (| x |) + C_{2}) - x^{- 1} + C_{3}$

Etapa 2.3.8

Simplifique.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 8 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C_{4}$

Etapa 2.3.9

Reordene os termos.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{x} + 8 \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} + 8 \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Resolva $w$ .

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} + 8 \ln (| x |) + C$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} + 8 \ln (| x |) + C$ por $2$ .

$\frac{2 w^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{- \frac{1}{x}}{2} + \frac{8 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 w^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{- \frac{1}{x}}{2} + \frac{8 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.2.2

Divida $w^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$w^{\frac{1}{2}} = \frac{- \frac{1}{x}}{2} + \frac{8 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2} + \frac{8 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.3.1.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{8 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.3.1.3

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

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Etapa 3.1.3.1.3.1

Fatore $2$ de $8 \ln (| x |)$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{2 (4 \ln (| x |))}{2} + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.1.3.1.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{2 (4 \ln (| x |))}{2 (1)} + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.3.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{2 (4 \ln (| x |))}{2 \cdot 1} + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.3.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{4 \ln (| x |)}{1} + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.3.1.3.2.4

Divida $4 \ln (| x |)$ por $1$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + 4 \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.3.1.4

Simplifique $4 \ln (| x |)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \ln ({| x |}^{4}) + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.3.1.5

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{4}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2}$

Etapa 3.2

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(w^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1

Simplifique ${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.1.1

Multiplique os expoentes em ${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$w^{1} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique.

$w = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$w = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + C)}^{2}$