Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2} e^{2 y}}$ , $y (- 2) = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{2 y}}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $e^{2 y}$ .

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = e^{2 y} (\frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{2 y}})$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Combine.

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = e^{2 y} \frac{12 \cdot 1}{{(2 + 3 x)}^{2} e^{2 y}}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $e^{2 y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Fatore $e^{2 y}$ de ${(2 + 3 x)}^{2} e^{2 y}$ .

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = e^{2 y} \frac{12 \cdot 1}{e^{2 y} {(2 + 3 x)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = e^{2 y} \frac{12 \cdot 1}{e^{2 y} {(2 + 3 x)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = \frac{12 \cdot 1}{{(2 + 3 x)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$e^{2 y} d y = \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int e^{2 y} d y = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u_{1} = 2 y$ . Depois, $d u_{1} = 2 d y$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u_{1} = 2 y$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 2.2.1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.2

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 y$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $12$ é constante com relação a $x$ , mova $12$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u_{2} = 2 + 3 x$ . Depois, $d u_{2} = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Deixe $u_{2} = 2 + 3 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $2 + 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + 3 x]$

Etapa 2.3.2.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 2.3.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

Etapa 2.3.2.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$0 + 3$

Etapa 2.3.2.1.4

Some $0$ e $3$ .

$3$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 3} d u_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Mova $3$ para a esquerda de ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{3 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $12$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{12}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.1.2

Cancele o fator comum de $12$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.2.1

Fatore $3$ de $12$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{4}{1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.1.2.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1

Mova ${u_{2}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{- 2}$ com relação a $u_{2}$ é $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Reescreva $4 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ como $4 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = - 4 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{- 4}{u_{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = - \frac{4}{u_{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 + 3 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = - \frac{4}{2 + 3 x} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} = - \frac{4}{2 + 3 x} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y}) = 2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} e^{2 y})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 y}$ .

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{2 y} = 2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + K)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Para escrever $K$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 + 3 x}{2 + 3 x}$ .

$e^{2 y} = 2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + \frac{K (2 + 3 x)}{2 + 3 x})$

Etapa 3.2.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{2 y} = 2 \frac{- 4 + K (2 + 3 x)}{2 + 3 x}$

Etapa 3.2.2.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{2 y} = 2 \frac{- 4 + K \cdot 2 + K (3 x)}{2 + 3 x}$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $K$ .

$e^{2 y} = 2 \frac{- 4 + 2 \cdot K + K (3 x)}{2 + 3 x}$

Etapa 3.2.2.1.3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{2 y} = 2 \frac{- 4 + 2 K + 3 K x}{2 + 3 x}$

Etapa 3.2.2.1.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.4.1

Combine $2$ e $\frac{- 4 + 2 K + 3 K x}{2 + 3 x}$ .

$e^{2 y} = \frac{2 (- 4 + 2 K + 3 K x)}{2 + 3 x}$

Etapa 3.2.2.1.4.2

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$e^{2 y} = \frac{2 (- 1 (4) + 2 K + 3 K x)}{2 + 3 x}$

Etapa 3.2.2.1.4.3

Fatore $- 1$ de $2 K$ .

$e^{2 y} = \frac{2 (- 1 (4) - (- 2 K) + 3 K x)}{2 + 3 x}$

Etapa 3.2.2.1.4.4

Fatore $- 1$ de $- 1 (4) - (- 2 K)$ .

$e^{2 y} = \frac{2 (- 1 (4 - 2 K) + 3 K x)}{2 + 3 x}$

Etapa 3.2.2.1.4.5

Fatore $- 1$ de $3 K x$ .

$e^{2 y} = \frac{2 (- 1 (4 - 2 K) - (- 3 K x))}{2 + 3 x}$

Etapa 3.2.2.1.4.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (4 - 2 K) - (- 3 K x)$ .

$e^{2 y} = \frac{2 (- 1 (4 - 2 K - 3 K x))}{2 + 3 x}$

Etapa 3.2.2.1.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{2 y} = - \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x}$

Etapa 3.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$

Etapa 3.4

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Expanda $\ln (e^{2 y})$ movendo $2 y$ para fora do logaritmo.

$2 y \ln (e) = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$

Etapa 3.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$

Etapa 3.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 y = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$

Etapa 3.5

Divida cada termo em $2 y = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Divida cada termo em $2 y = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})}{2}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})}{2}$

Etapa 3.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})}{2}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (K + K x)}{2 + 3 x})}{2}$

Etapa 5

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $- 2$ por $x$ e $0$ por $y$ em $y = \frac{\ln (- \frac{2 (K + K x)}{2 + 3 x})}{2}$ .

$0 = \frac{\ln (- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2})}{2}$

Etapa 6

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina o numerador como igual a zero.

$\ln (- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}) = 0$

Etapa 6.2

Resolva a equação para $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Para resolver $K$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2})} = e^{0}$

Etapa 6.2.2

Reescreva $\ln (- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = - \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}$

Etapa 6.2.3

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Reescreva a equação como $- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2} = e^{0}$ .

$- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2} = e^{0}$

Etapa 6.2.3.2

Divida cada termo em $- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2} = e^{0}$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.1

Divida cada termo em $- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2} = e^{0}$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}}{- 1} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Etapa 6.2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.2.1

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.2.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}}{1} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Etapa 6.2.3.2.2.1.2

Divida $\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}$ por $1$ .

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Etapa 6.2.3.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ e $2 + 3 \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.2.1.3.1

Reordene os termos.

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 - 2 \cdot 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Etapa 6.2.3.2.2.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.2.1.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 (1) - 2 \cdot 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Etapa 6.2.3.2.2.1.3.2.2

Fatore $2$ de $- 2 \cdot 3$ .

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 (1) + 2 (- 1 \cdot 3)} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Etapa 6.2.3.2.2.1.3.2.3

Fatore $2$ de $2 (1) + 2 (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 (1 - 1 \cdot 3)} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Etapa 6.2.3.2.2.1.3.2.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 (1 - 1 \cdot 3)} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Etapa 6.2.3.2.2.1.3.2.5

Reescreva a expressão.

$\frac{K + K \cdot - 2}{1 - 1 \cdot 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Etapa 6.2.3.2.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.2.2.1

Mova $- 2$ para a esquerda de $K$ .

$\frac{K - 2 \cdot K}{1 - 1 \cdot 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Etapa 6.2.3.2.2.2.2

Subtraia $2 K$ de $K$ .

$\frac{- K}{1 - 1 \cdot 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Etapa 6.2.3.2.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- K}{1 - 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Etapa 6.2.3.2.2.3.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{- K}{- 2} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Etapa 6.2.3.2.2.4

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{K}{2} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Etapa 6.2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{e^{0}}{- 1}$ .

$\frac{K}{2} = - 1 \cdot e^{0}$

Etapa 6.2.3.2.3.2

Reescreva $- 1 \cdot e^{0}$ como $- e^{0}$ .

$\frac{K}{2} = - e^{0}$

Etapa 6.2.3.2.3.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{K}{2} = - 1 \cdot 1$

Etapa 6.2.3.2.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{K}{2} = - 1$

Etapa 6.2.3.3

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{K}{2} = 2 \cdot - 1$

Etapa 6.2.3.4

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.4.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{K}{2} = 2 \cdot - 1$

Etapa 6.2.3.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$K = 2 \cdot - 1$

Etapa 6.2.3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.3.4.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$K = - 2$

Etapa 7

Substitua $- 2$ por $K$ em $y = \frac{\ln (- \frac{2 (K + K x)}{2 + 3 x})}{2}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Substitua $- 2$ por $K$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})}{2}$

Etapa 7.2

Reescreva $\frac{\ln (- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})$ .

$y = \frac{1}{2} \ln (- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})$

Etapa 7.3

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$y = \ln ({(- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 7.4

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 7.4.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x}$ .

$y = \ln ({(- 1)}^{\frac{1}{2}} {(\frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 7.4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x}$ .

$y = \ln ({(- 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{{(2 (- 2 + K x))}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 7.4.3

Aplique a regra do produto a $2 (- 2 + K x)$ .

$y = \ln ({(- 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 7.5

Reescreva ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$y = \ln (\sqrt{{(- 1)}^{1}} \frac{2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 7.6

Avalie o expoente.

$y = \ln (\sqrt{- 1} \frac{2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 7.7

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \ln (i \frac{2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 7.8

Combine $i$ e $\frac{2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \ln (\frac{i \cdot 2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$