Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 7 x \sqrt{2 y + 20}$ , $y (0) = 5$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} (7 x \sqrt{2 y + 20})$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Etapa 1.2.2

Fatore $2$ de $2 y + 20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $2$ de $2 y$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 (y) + 20}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $2$ de $20$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 y + 2 \cdot 10}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $2$ de $2 y + 2 \cdot 10$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Etapa 1.2.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ por $\frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 (\frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}} \cdot \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)}}) (x \sqrt{2 y + 20})$

Etapa 1.2.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ por $\frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)} \sqrt{2 (y + 10)}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Etapa 1.2.4.2

Eleve $\sqrt{2 (y + 10)}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} \sqrt{2 (y + 10)}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Etapa 1.2.4.3

Eleve $\sqrt{2 (y + 10)}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} {\sqrt{2 (y + 10)}}^{1}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Etapa 1.2.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{1 + 1}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Etapa 1.2.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{2}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Etapa 1.2.4.6

Reescreva ${\sqrt{2 (y + 10)}}^{2}$ como $2 (y + 10)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 (y + 10)}$ como ${(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{({(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Etapa 1.2.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Etapa 1.2.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Etapa 1.2.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Etapa 1.2.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{1}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Etapa 1.2.4.6.5

Simplifique.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 y + 20})$

Etapa 1.2.5

Combine $7$ e $\frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 y + 20})$

Etapa 1.2.6

Fatore $2$ de $2 y + 20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Fatore $2$ de $2 y$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 (y) + 20})$

Etapa 1.2.6.2

Fatore $2$ de $20$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 y + 2 \cdot 10})$

Etapa 1.2.6.3

Fatore $2$ de $2 y + 2 \cdot 10$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 (y + 10)})$

Etapa 1.2.7

Multiplique $\frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 (y + 10)})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Combine $x$ e $\frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 \sqrt{2 (y + 10)})}{2 (y + 10)} \sqrt{2 (y + 10)}$

Etapa 1.2.7.2

Combine $\frac{x (7 \sqrt{2 (y + 10)})}{2 (y + 10)}$ e $\sqrt{2 (y + 10)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 \sqrt{2 (y + 10)}) \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)}$

Etapa 1.2.7.3

Eleve $\sqrt{2 (y + 10)}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 ({\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} \sqrt{2 (y + 10)}))}{2 (y + 10)}$

Etapa 1.2.7.4

Eleve $\sqrt{2 (y + 10)}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 ({\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} {\sqrt{2 (y + 10)}}^{1}))}{2 (y + 10)}$

Etapa 1.2.7.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 {\sqrt{2 (y + 10)}}^{1 + 1})}{2 (y + 10)}$

Etapa 1.2.7.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 {\sqrt{2 (y + 10)}}^{2})}{2 (y + 10)}$

Etapa 1.2.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1

Reescreva ${\sqrt{2 (y + 10)}}^{2}$ como $2 (y + 10)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 (y + 10)}$ como ${(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {({(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 (y + 10)}$

Etapa 1.2.8.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 (y + 10)}$

Etapa 1.2.8.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}}{2 (y + 10)}$

Etapa 1.2.8.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}}{2 (y + 10)}$

Etapa 1.2.8.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{1}}{2 (y + 10)}$

Etapa 1.2.8.1.5

Simplifique.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

Etapa 1.2.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 y + 2 \cdot 10)}{2 (y + 10)}$

Etapa 1.2.8.3

Multiplique $2$ por $10$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 y + 20)}{2 (y + 10)}$

Etapa 1.2.8.4

Fatore $2$ de $2 y + 20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.4.1

Fatore $2$ de $2 y$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 (y) + 20)}{2 (y + 10)}$

Etapa 1.2.8.4.2

Fatore $2$ de $20$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 y + 2 \cdot 10)}{2 (y + 10)}$

Etapa 1.2.8.4.3

Fatore $2$ de $2 y + 2 \cdot 10$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 \cdot 2 (y + 10)}{2 (y + 10)}$

Etapa 1.2.8.5

Multiplique $2$ por $7$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 14 (y + 10)}{2 (y + 10)}$

Etapa 1.2.9

Cancele o fator comum de $14$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1

Fatore $2$ de $x \cdot 14 (y + 10)$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x \cdot 7 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

Etapa 1.2.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x \cdot 7 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

Etapa 1.2.9.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (y + 10)}{y + 10}$

Etapa 1.2.10

Cancele o fator comum de $y + 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (y + 10)}{y + 10}$

Etapa 1.2.10.2

Divida $x \cdot 7$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = x \cdot 7$

Etapa 1.2.11

Mova $7$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 x$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} d y = 7 x d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} d y = \int 7 x d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u = 2 y + 20$ . Depois, $d u = 2 d y$ , então, $\frac{1}{2} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = 2 y + 20$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $2 y + 20$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 20]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y + 20$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [20]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [20]$

Etapa 2.2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [20]$

Etapa 2.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [20]$

Etapa 2.2.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [20]$

Etapa 2.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.4.1

Como $20$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $20$ em relação a $y$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 2.2.1.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u = \int 7 x d x$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u = \int 7 x d x$

Etapa 2.2.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u = \int 7 x d x$

Etapa 2.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int 7 x d x$

Etapa 2.2.4

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int 7 x d x$

Etapa 2.2.4.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int 7 x d x$

Etapa 2.2.4.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int 7 x d x$

Etapa 2.2.4.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int 7 x d x$

Etapa 2.2.4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int 7 x d x$

Etapa 2.2.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int 7 x d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Reescreva $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ como $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Etapa 2.2.6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Etapa 2.2.6.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Etapa 2.2.6.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Etapa 2.2.6.2.3

Multiplique $u^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 y + 20$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $7$ é constante com relação a $x$ , mova $7$ para fora da integral.

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 7 \int x d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Reescreva $7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Combine $7$ e $\frac{1}{2}$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{7}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} = \frac{7}{2} x^{2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${({(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique ${({(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(2 y + 20)}^{1} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.2

Simplifique.

$2 y + 20 = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique ${(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1

Combine $\frac{7}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 y + 20 = {(\frac{7 x^{2}}{2} + K)}^{2}$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Reescreva ${(\frac{7 x^{2}}{2} + K)}^{2}$ como $(\frac{7 x^{2}}{2} + K) (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$ .

$2 y + 20 = (\frac{7 x^{2}}{2} + K) (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Expanda $(\frac{7 x^{2}}{2} + K) (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2}}{2} (\frac{7 x^{2}}{2} + K) + K (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2}}{2} \cdot \frac{7 x^{2}}{2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2}}{2} \cdot \frac{7 x^{2}}{2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Etapa 3.2.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1.1

Combine.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2} (7 x^{2})}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Etapa 3.2.2.1.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.2.1.3.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$2 y + 20 = \frac{7 (x^{2} x^{2}) \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Etapa 3.2.2.1.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2 + 2} \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Etapa 3.2.2.1.3.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$2 y + 20 = \frac{7 x^{4} \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Etapa 3.2.2.1.3.1.3

Multiplique $7$ por $7$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Etapa 3.2.2.1.3.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Etapa 3.2.2.1.3.1.5

Combine $\frac{7 x^{2}}{2}$ e $K$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Etapa 3.2.2.1.3.1.6

Combine $K$ e $\frac{7 x^{2}}{2}$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + \frac{K (7 x^{2})}{2} + K (K)$

Etapa 3.2.2.1.3.1.7

Mova $7$ para a esquerda de $K$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + \frac{7 \cdot K x^{2}}{2} + K \cdot K$

Etapa 3.2.2.1.3.1.8

Multiplique $K$ por $K$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Some $\frac{7 x^{2} K}{2}$ e $\frac{7 K x^{2}}{2}$ .

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Etapa 3.2.2.1.3.2.1

Mova $x^{2}$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

Etapa 3.2.2.1.3.2.2

Some $\frac{7 K x^{2}}{2}$ e $\frac{7 K x^{2}}{2}$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + 2 \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

Etapa 3.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + 2 \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

Etapa 3.2.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2}$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Subtraia $20$ dos dois lados da equação.

$2 y = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2} - 20$

Etapa 3.3.2

Divida cada termo em $2 y = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2} - 20$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.3.2.1

Divida cada termo em $2 y = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2} - 20$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{49 x^{4}}{4}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{49 x^{4}}{4}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{49 x^{4}}{4}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{49 x^{4}}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Etapa 3.3.2.3.1.2

Combine.

$y = \frac{49 x^{4} \cdot 1}{4 \cdot 2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Etapa 3.3.2.3.1.3

Multiplique $49$ por $1$ .

$y = \frac{49 x^{4}}{4 \cdot 2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Etapa 3.3.2.3.1.4

Multiplique $4$ por $2$ .

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Etapa 3.3.2.3.1.5

Divida $- 20$ por $2$ .

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} - 10$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{K x^{2}}{2} + K$

Etapa 5

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $x$ e $5$ por $y$ em $y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{K x^{2}}{2} + K$ .

$5 = \frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K$

Etapa 6

Resolva $K$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$ .

$\frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

Etapa 6.2

Simplifique $\frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K$ .

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{49 \cdot 0}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $49$ por $0$ .

$\frac{0}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

Etapa 6.2.1.3

Divida $0$ por $8$ .

$0 + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

Etapa 6.2.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + \frac{K \cdot 0}{2} + K = 5$

Etapa 6.2.1.5

Multiplique $K$ por $0$ .

$0 + \frac{0}{2} + K = 5$

Etapa 6.2.1.6

Divida $0$ por $2$ .

$0 + 0 + K = 5$

Etapa 6.2.2

Combine os termos opostos em $0 + 0 + K$ .

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Etapa 6.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + K = 5$

Etapa 6.2.2.2

Some $0$ e $K$ .

$K = 5$

Etapa 7

Substitua $5$ por $K$ em $y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{K x^{2}}{2} + K$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Substitua $5$ por $K$ .

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{5 x^{2}}{2} + K$