Cálculo Exemplos

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = \sin (8 x)$

Etapa 1

Verifique se o lado esquerdo da equação é o resultado da derivada do termo $e^{5 x} y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{5 x}$ e $g (x) = y$ .

$e^{5 x} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{5 x} y' + y \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x$ .

$e^{5 x} y' + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 1.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} (5 \cdot 1))$

Etapa 1.6

Multiplique $5$ por $1$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} \cdot 5)$

Etapa 1.7

Mova $5$ para a esquerda de $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y' + y (5 e^{5 x})$

Etapa 1.8

Substitua $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + y (5 e^{5 x})$

Etapa 1.9

Remova os parênteses.

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + y \cdot 5 e^{5 x}$

Etapa 1.10

Reordene $y$ e $5$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 \cdot y e^{5 x}$

Etapa 2

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{5 x} y] = \sin (8 x)$

Etapa 3

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{5 x} y] d x = \int \sin (8 x) d x$

Etapa 4

Integre o lado esquerdo.

$e^{5 x} y = \int \sin (8 x) d x$

Etapa 5

Integre o lado direito.

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Etapa 5.1

Deixe $u = 8 x$ . Depois, $d u = 8 d x$ , então, $\frac{1}{8} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1.1

Deixe $u = 8 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1.1

Diferencie $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Etapa 5.1.1.2

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Etapa 5.1.1.4

Multiplique $8$ por $1$ .

$8$

Etapa 5.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{5 x} y = \int \sin (u) \frac{1}{8} d u$

Etapa 5.2

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{8}$ .

$e^{5 x} y = \int \frac{\sin (u)}{8} d u$

Etapa 5.3

Como $\frac{1}{8}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{8}$ para fora da integral.

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} \int \sin (u) d u$

Etapa 5.4

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} (- \cos (u) + C)$

Etapa 5.5

Simplifique.

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Etapa 5.5.1

Simplifique.

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} (- \cos (u)) + C$

Etapa 5.5.2

Combine $\frac{1}{8}$ e $\cos (u)$ .

$e^{5 x} y = - \frac{\cos (u)}{8} + C$

Etapa 5.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 x$ .

$e^{5 x} y = - \frac{\cos (8 x)}{8} + C$

Etapa 5.7

Reordene os termos.

$e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$

Etapa 6

Divida cada termo em $e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$ por $e^{5 x}$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$ por $e^{5 x}$ .

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $e^{5 x}$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1

Combine $\cos (8 x)$ e $\frac{1}{8}$ .

$y = \frac{- \frac{\cos (8 x)}{8}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 6.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = - \frac{\cos (8 x)}{8} \cdot \frac{1}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 6.3.1.3

Multiplique $\frac{1}{e^{5 x}}$ por $\frac{\cos (8 x)}{8}$ .

$y = - \frac{\cos (8 x)}{e^{5 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 6.3.1.4

Mova $8$ para a esquerda de $e^{5 x}$ .

$y = - \frac{\cos (8 x)}{8 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$