Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} (\frac{1}{4} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Etapa 1.2.2

Combine.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{4 (\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Etapa 1.2.3

Cancele o fator comum de $\sqrt{y}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Fatore $\sqrt{y}$ de $4 (\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{y} (4 (\cos^{2} (\sqrt{y})))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Etapa 1.2.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{y} (4 (\cos^{2} (\sqrt{y})))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Etapa 1.2.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{4 (\cos^{2} (\sqrt{y}))} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Etapa 1.2.4

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (\sqrt{y})$ .

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Etapa 1.2.4.1

Fatore $\cos^{2} (\sqrt{y})$ de $4 (\cos^{2} (\sqrt{y}))$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 4} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Etapa 1.2.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 4} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Etapa 1.2.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{4}$

Etapa 1.2.5

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \frac{1}{4} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique.

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Etapa 2.2.1.1

Multiplique por $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{y} (\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 1)} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Etapa 2.2.1.2

Separe as frações.

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Etapa 2.2.1.3

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (\sqrt{y})}$ em $\sec^{2} (\sqrt{y})$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cdot (1)} \sec^{2} (\sqrt{y}) d y = \int \frac{1}{4} d x$

Etapa 2.2.1.4

Multiplique $\sqrt{y}$ por $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} \sec^{2} (\sqrt{y}) d y = \int \frac{1}{4} d x$

Etapa 2.2.1.5

Combine $\frac{1}{\sqrt{y}}$ e $\sec^{2} (\sqrt{y})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\sqrt{y})}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Etapa 2.2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (y^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Etapa 2.2.2.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (y^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Etapa 2.2.2.3

Mova $y^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Etapa 2.2.2.4

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.2.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Etapa 2.2.2.4.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Etapa 2.2.2.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Etapa 2.2.3

Deixe $u = y^{\frac{1}{2}}$ . Depois, $d u = \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ , então, $- d u = \frac{- 1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.3.1

Deixe $u = y^{\frac{1}{2}}$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.3.1.1

Diferencie $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}$

Etapa 2.2.3.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 2.2.3.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 2.2.3.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 2.2.3.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.3.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}$

Etapa 2.2.3.1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}$

Etapa 2.2.3.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 2.2.3.1.8

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.1.8.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.2.3.1.8.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.2.3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 2 \sec^{2} (u) d u = \int \frac{1}{4} d x$

Etapa 2.2.4

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \sec^{2} (u) d u = \int \frac{1}{4} d x$

Etapa 2.2.5

Como a derivada de $\tan (u)$ é $\sec^{2} (u)$ , a integral de $\sec^{2} (u)$ é $\tan (u)$ .

$2 (\tan (u) + C_{1}) = \int \frac{1}{4} d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$2 \tan (u) + C_{1} = \int \frac{1}{4} d x$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) + C_{1} = \int \frac{1}{4} d x$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) + C_{1} = \frac{1}{4} x + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4} x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4} x + K$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4} x + K$ por $2$ .

$\frac{2 \tan (y^{\frac{1}{2}})}{2} = \frac{\frac{1}{4} x}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \tan (y^{\frac{1}{2}})}{2} = \frac{\frac{1}{4} x}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.2.1.2

Divida $\tan (y^{\frac{1}{2}})$ por $1$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{\frac{1}{4} x}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.1.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{\frac{x}{4}}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.3.1.3

Multiplique $\frac{x}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 3.1.3.1.3.1

Multiplique $\frac{x}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{4 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.3.1.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{8} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.2

Substitua $u$ por $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (u) = \frac{x}{8} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.3

Reordene $\frac{x}{8}$ e $\frac{K}{2}$ .

$\tan (u) = \frac{K}{2} + \frac{x}{8}$

Etapa 3.4

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $u$ de dentro da tangente.

$u = \arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})$

Etapa 3.5

Substitua $y^{\frac{1}{2}}$ por $u$ e resolva $y^{\frac{1}{2}} = \arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})$

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Etapa 3.5.1

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.1

Simplifique ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.5.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.5.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Etapa 3.5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Etapa 3.5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Etapa 3.5.2.1.2

Simplifique.

$y = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = {\arctan (K + \frac{x}{8})}^{2}$