Cálculo Exemplos

$8 x y^{3} d x + 12 x^{2} y^{2} d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $8 x y^{3} d x$ dos dois lados da equação.

$12 x^{2} y^{2} d y = - 8 x y^{3} d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{2} y^{3}} (12 x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$12 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Etapa 3.2

Combine $12$ e $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{12}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $x^{2} y^{2}$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $x^{2} y^{2}$ de $x^{2} y^{3}$ .

$\frac{12}{x^{2} y^{2} (y)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{12}{x^{2} y^{2} y} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Etapa 3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{12}{y} d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Etapa 3.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{12}{y} d y = - 8 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Etapa 3.5

Combine $- 8$ e $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Etapa 3.6

Cancele o fator comum de $x y^{3}$ .

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Etapa 3.6.1

Fatore $x y^{3}$ de $x^{2} y^{3}$ .

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x y^{3} (x)} (x y^{3}) d x$

Etapa 3.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x y^{3} x} (x y^{3}) d x$

Etapa 3.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x} d x$

Etapa 3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{12}{y} d y = - \frac{8}{x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{12}{y} d y = \int - \frac{8}{x} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Como $12$ é constante com relação a $y$ , mova $12$ para fora da integral.

$12 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{8}{x} d x$

Etapa 4.2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$12 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{8}{x} d x$

Etapa 4.2.3

Simplifique.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{8}{x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{8}{x} d x$

Etapa 4.3.2

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - (8 \int \frac{1}{x} d x)$

Etapa 4.3.3

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 4.3.5

Simplifique.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$12 \ln (| y |) = - 8 \ln (| x |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$12 \ln (| y |) + 8 \ln (| x |) = C$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Simplifique $12 \ln (| y |) + 8 \ln (| x |)$ .

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1.1

Simplifique $12 \ln (| y |)$ movendo $12$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({| y |}^{12}) + 8 \ln (| x |) = C$

Etapa 5.2.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{12}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln (y^{12}) + 8 \ln (| x |) = C$

Etapa 5.2.1.1.3

Simplifique $8 \ln (| x |)$ movendo $8$ para dentro do logaritmo.

$\ln (y^{12}) + \ln ({| x |}^{8}) = C$

Etapa 5.2.1.1.4

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{8}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln (y^{12}) + \ln (x^{8}) = C$

Etapa 5.2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y^{12} x^{8}) = C$

Etapa 5.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (y^{12} x^{8})} = e^{C}$

Etapa 5.4

Reescreva $\ln (y^{12} x^{8}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{12} x^{8}$

Etapa 5.5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $y^{12} x^{8} = e^{C}$ .

$y^{12} x^{8} = e^{C}$

Etapa 5.5.2

Divida cada termo em $y^{12} x^{8} = e^{C}$ por $x^{8}$ e simplifique.

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Etapa 5.5.2.1

Divida cada termo em $y^{12} x^{8} = e^{C}$ por $x^{8}$ .

$\frac{y^{12} x^{8}}{x^{8}} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

Etapa 5.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $x^{8}$ .

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Etapa 5.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{12} x^{8}}{x^{8}} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

Etapa 5.5.2.2.1.2

Divida $y^{12}$ por $1$ .

$y^{12} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

Etapa 5.5.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$

Etapa 5.5.4

Simplifique $\pm \sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$ .

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Etapa 5.5.4.1

Reescreva $\sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$ como $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{x^{8}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{x^{8}}}$

Etapa 5.5.4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.5.4.2.1

Reescreva $x^{8}$ como ${(x^{2})}^{4}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{{(x^{2})}^{4}}}$

Etapa 5.5.4.2.2

Reescreva $\sqrt[12]{{(x^{2})}^{4}}$ como $\sqrt[3]{\sqrt[4]{{(x^{2})}^{4}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{\sqrt[4]{{(x^{2})}^{4}}}}$

Etapa 5.5.4.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Etapa 5.5.4.3

Multiplique $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Etapa 5.5.4.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.5.4.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Etapa 5.5.4.4.2

Eleve $\sqrt[3]{x^{2}}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Etapa 5.5.4.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1 + 2}}$

Etapa 5.5.4.4.4

Some $1$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}}$

Etapa 5.5.4.4.5

Reescreva ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$ como $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.4.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

Etapa 5.5.4.4.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

Etapa 5.5.4.4.5.3

Combine $\frac{2}{3}$ e $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Etapa 5.5.4.4.5.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{6}{3}}}$

Etapa 5.5.4.4.5.5

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.4.5.5.1

Fatore $3$ de $6$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

Etapa 5.5.4.4.5.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.4.5.5.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

Etapa 5.5.4.4.5.5.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

Etapa 5.5.4.4.5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{1}}}$

Etapa 5.5.4.4.5.5.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2}}$

Etapa 5.5.4.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.5.1

Reescreva ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}{x^{2}}$

Etapa 5.5.4.5.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}{x^{2}}$

Etapa 5.5.4.5.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{4}}}{x^{2}}$

Etapa 5.5.4.5.3

Fatore $x^{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{3} x}}{x^{2}}$

Etapa 5.5.4.5.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} x \sqrt[3]{x}}{x^{2}}$

Etapa 5.5.4.5.5

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.5.5.1

Reescreva a expressão usando o menor índice comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.5.5.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} x^{\frac{1}{3}})}{x^{2}}$

Etapa 5.5.4.5.5.1.2

Reescreva $x^{\frac{1}{3}}$ como $x^{\frac{4}{12}}$ .

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} x^{\frac{4}{12}})}{x^{2}}$

Etapa 5.5.4.5.5.1.3

Reescreva $x^{\frac{4}{12}}$ como $\sqrt[12]{x^{4}}$ .

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[12]{x^{4}})}{x^{2}}$

Etapa 5.5.4.5.5.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x^{2}}$

Etapa 5.5.4.6

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.6.1

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.6.1.1

Fatore $x$ de $x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}$ .

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x^{2}}$

Etapa 5.5.4.6.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.6.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x \cdot x}$

Etapa 5.5.4.6.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x \cdot x}$

Etapa 5.5.4.6.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x}$

Etapa 5.5.4.6.2

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

Etapa 5.5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

Etapa 5.5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

Etapa 5.5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} C}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} C}}{x}$