Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} - y = x^{2} \cos (2 x)$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} - y = x^{2} \cos (2 x)$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \cos (2 x)}{x}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \cos (2 x)}{x}$

Etapa 1.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \cos (2 x)}{x}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 1.3.1

Fatore $x$ de $x^{2} \cos (2 x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \cos (2 x))}{x}$

Etapa 1.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \cos (2 x))}{x^{1}}$

Etapa 1.3.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \cos (2 x))}{x \cdot 1}$

Etapa 1.3.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \cos (2 x))}{x \cdot 1}$

Etapa 1.3.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x \cos (2 x)}{1}$

Etapa 1.3.2.5

Divida $x \cos (2 x)$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x \cos (2 x)$

Etapa 1.4

Fatore $y$ de $\frac{- y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x} = x \cos (2 x)$

Etapa 1.5

Reordene $y$ e $\frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x} y = x \cos (2 x)$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{- 1}{x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{- 1}{x}$ .

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Etapa 2.2.1

Divida a fração em diversas frações.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- \ln (x)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{- 1}$

Etapa 2.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\frac{1}{x}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \cos (2 x))$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \cos (2 x))$

Etapa 3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \cos (2 x))$

Etapa 3.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \cos (2 x))$

Etapa 3.2.4

Combine $\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (x \cos (2 x))$

Etapa 3.2.5

Multiplique $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Etapa 3.2.5.1

Multiplique $\frac{y}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (x \cos (2 x))$

Etapa 3.2.5.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (x \cos (2 x))$

Etapa 3.2.5.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (x \cos (2 x))$

Etapa 3.2.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (x \cos (2 x))$

Etapa 3.2.5.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \cos (2 x))$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $x$ de $x \cos (2 x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (\cos (2 x)))$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \cos (2 x))$

Etapa 3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \cos (2 x)$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \cos (2 x)$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \cos (2 x) d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\frac{1}{x} y = \int \cos (2 x) d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 7.1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 7.1.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 7.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{x} y = \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 7.2

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Etapa 7.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Etapa 7.4

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

Etapa 7.5

Simplifique.

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{2} \sin (u) + C$

Etapa 7.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.1.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{y}{x} = \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$

Etapa 8.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$\frac{y}{x} = \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Etapa 8.3

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\frac{\sin (2 x)}{2} + C) x$

Etapa 8.4

Simplifique.

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Etapa 8.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.4.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = (\frac{\sin (2 x)}{2} + C) x$

Etapa 8.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = (\frac{\sin (2 x)}{2} + C) x$

Etapa 8.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.4.2.1

Simplifique $(\frac{\sin (2 x)}{2} + C) x$ .

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Etapa 8.4.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{\sin (2 x)}{2} x + C x$

Etapa 8.4.2.1.2

Combine $\frac{\sin (2 x)}{2}$ e $x$ .

$y = \frac{\sin (2 x) x}{2} + C x$

Etapa 8.4.2.1.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.4.2.1.3.1

Reordene os fatores em $\frac{\sin (2 x) x}{2} + C x$ .

$y = \frac{x \sin (2 x)}{2} + C x$

Etapa 8.4.2.1.3.2

Reordene $\frac{x \sin (2 x)}{2}$ e $C x$ .

$y = C x + \frac{x \sin (2 x)}{2}$