Cálculo Exemplos

$x y d x + (1 + x) (1 - y) d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $x y d x$ dos dois lados da equação.

$(1 + x) (1 - y) d y = - x y d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(1 + x) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x) y} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $1 + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $1 + x$ de $(1 + x) y$ .

$\frac{1}{(1 + x) (y)} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(1 + x) y} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} (1 - y) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $1 - y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{(1 + x) y} (x y) d x$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{(1 + x) y}$ para o numerador.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{(1 + x) y} (x y) d x$

Etapa 3.4.2

Fatore $y$ de $(1 + x) y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (x y) d x$

Etapa 3.4.3

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (y x) d x$

Etapa 3.4.4

Cancele o fator comum.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (y x) d x$

Etapa 3.4.5

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{1 + x} x d x$

Etapa 3.5

Combine $\frac{- 1}{1 + x}$ e $x$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- x}{1 + x} d x$

Etapa 3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{x}{1 + x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Divida a fração em diversas frações.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Etapa 4.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Etapa 4.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Etapa 4.2.3.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Etapa 4.2.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Etapa 4.2.5

Aplique a regra da constante.

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Etapa 4.2.6

Simplifique.

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Etapa 4.2.7

Reordene os termos.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{x}{1 + x} d x$

Etapa 4.3.2

Reordene $1$ e $x$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 4.3.3

Divida $x$ por $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Etapa 4.3.3.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Etapa 4.3.3.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Etapa 4.3.3.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x + 1$ .

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Etapa 4.3.3.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Etapa 4.3.3.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 4.3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Etapa 4.3.5

Aplique a regra da constante.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Etapa 4.3.6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Etapa 4.3.7

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 4.3.7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.3.7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.3.7.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.3.7.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.3.7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 4.3.8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - (\ln (| u |) + C_{5}))$

Etapa 4.3.9

Simplifique.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x - \ln (| u |)) + C_{6}$

Etapa 4.3.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x - \ln (| x + 1 |)) + C_{6}$

Etapa 4.3.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x - - \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Etapa 4.3.11.2

Multiplique $- - \ln (| x + 1 |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.11.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x + 1 \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Etapa 4.3.11.2.2

Multiplique $\ln (| x + 1 |)$ por $1$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x + \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- y + \ln (| y |) = - x + \ln (| x + 1 |) + C$