Cálculo Exemplos

$\frac{d s}{d t} = - 12 t + \cos (t)$ , $s (0) = 4$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d s = (- 12 t + \cos (t)) d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d s = \int - 12 t + \cos (t) d t$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$s + C_{1} = \int - 12 t + \cos (t) d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$s + C_{1} = \int - 12 t d t + \int \cos (t) d t$

Etapa 2.3.2

Como $- 12$ é constante com relação a $t$ , mova $- 12$ para fora da integral.

$s + C_{1} = - 12 \int t d t + \int \cos (t) d t$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t$ com relação a $t$ é $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$s + C_{1} = - 12 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \cos (t) d t$

Etapa 2.3.4

A integral de $\cos (t)$ com relação a $t$ é $\sin (t)$ .

$s + C_{1} = - 12 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \sin (t) + C_{3}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$s + C_{1} = - 12 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \sin (t) + C_{3}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

$s + C_{1} = - 6 t^{2} + \sin (t) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$s = - 6 t^{2} + \sin (t) + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $t$ e $4$ por $s$ em $s = - 6 t^{2} + \sin (t) + K$ .

$4 = - 6 \cdot 0^{2} + \sin (0) + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $- 6 \cdot 0^{2} + \sin (0) + K = 4$ .

$- 6 \cdot 0^{2} + \sin (0) + K = 4$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique $- 6 \cdot 0^{2} + \sin (0) + K$ .

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Etapa 4.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 6 \cdot 0 + \sin (0) + K = 4$

Etapa 4.2.1.1.2

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$0 + \sin (0) + K = 4$

Etapa 4.2.1.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$0 + 0 + K = 4$

Etapa 4.2.1.2

Combine os termos opostos em $0 + 0 + K$ .

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Etapa 4.2.1.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + K = 4$

Etapa 4.2.1.2.2

Some $0$ e $K$ .

$K = 4$

Etapa 5

Substitua $4$ por $K$ em $s = - 6 t^{2} + \sin (t) + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $4$ por $K$ .

$s = - 6 t^{2} + \sin (t) + 4$