Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{1 + e^{x}}$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 1$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int d x}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

$e^{x + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{x}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{x}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \frac{1}{1 + e^{x}}$

Etapa 2.2

Combine $e^{x}$ e $\frac{1}{1 + e^{x}}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Etapa 2.3

Reordene os fatores em $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{x} y = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Deixe $u = 1 + e^{x}$ . Depois, $d u = e^{x} d x$ , então, $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1.1

Deixe $u = 1 + e^{x}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Diferencie $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Etapa 6.1.1.2

Diferencie.

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Etapa 6.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 6.1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 6.1.1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Etapa 6.1.1.4

Some $0$ e $e^{x}$ .

$e^{x}$

Etapa 6.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{x} y = \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 6.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$e^{x} y = \ln (| u |) + C$

Etapa 6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + e^{x}$ .

$e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$ por $e^{x}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$ por $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |) + C}{e^{x}}$