Cálculo Exemplos

$e^{2 x} \frac{d f}{d x} + e^{x} = 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d f}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Reordene os fatores em $e^{2 x} \frac{d f}{d x} + e^{x}$ .

$\frac{d f}{d x} e^{2 x} + e^{x} = 1$

Etapa 1.1.2

Subtraia $e^{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d f}{d x} e^{2 x} = 1 - e^{x}$

Etapa 1.1.3

Divida cada termo em $\frac{d f}{d x} e^{2 x} = 1 - e^{x}$ por $e^{2 x}$ e simplifique.

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Etapa 1.1.3.1

Divida cada termo em $\frac{d f}{d x} e^{2 x} = 1 - e^{x}$ por $e^{2 x}$ .

$\frac{\frac{d f}{d x} e^{2 x}}{e^{2 x}} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $e^{2 x}$ .

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Etapa 1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d f}{d x} e^{2 x}}{e^{2 x}} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 1.1.3.2.1.2

Divida $\frac{d f}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.3.3.1

Cancele o fator comum de $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.1

Fatore $e^{2 x}$ de $- e^{x}$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{e^{2 x} (- e^{- x})}{e^{2 x}}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.3.3.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{e^{2 x} (- e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{e^{2 x} (- e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{- x}}{1}$

Etapa 1.1.3.3.1.2.4

Divida $- e^{- x}$ por $1$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x}$

Etapa 1.2

Reescreva a equação.

$d f = (\frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x}) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d f = \int \frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$f + C_{1} = \int \frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f + C_{1} = \int \frac{1}{e^{2 x}} d x + \int - e^{- x} d x$

Etapa 2.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.2.1

Negative o expoente de $e^{2 x}$ e o mova para fora do denominador.

$f + C_{1} = \int 1 {(e^{2 x})}^{- 1} d x + \int - e^{- x} d x$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{2 x})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f + C_{1} = \int 1 e^{2 x \cdot - 1} d x + \int - e^{- x} d x$

Etapa 2.3.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f + C_{1} = \int 1 e^{- 2 x} d x + \int - e^{- x} d x$

Etapa 2.3.2.2.2

Multiplique $e^{- 2 x}$ por $1$ .

$f + C_{1} = \int e^{- 2 x} d x + \int - e^{- x} d x$

Etapa 2.3.3

Deixe $u_{1} = - 2 x$ . Depois, $d u_{1} = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.3.3.1

Deixe $u_{1} = - 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 2.3.3.1.1

Diferencie $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.3.3.1.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 2.3.3.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 2.3.3.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$f + C_{1} = \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

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Etapa 2.3.4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f + C_{1} = \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

Etapa 2.3.4.2

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f + C_{1} = \int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

Etapa 2.3.5

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$f + C_{1} = - \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

Etapa 2.3.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$f + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Etapa 2.3.7

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int - e^{- x} d x$

Etapa 2.3.8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - \int e^{- x} d x$

Etapa 2.3.9

Deixe $u_{2} = - x$ . Depois, $d u_{2} = - d x$ , então, $- d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.3.9.1

Deixe $u_{2} = - x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.3.9.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3.9.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.9.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.3.9.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.10

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.11

Simplifique.

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Etapa 2.3.11.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.11.2

Multiplique $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.12

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + e^{u_{2}} + C_{3}$

Etapa 2.3.13

Simplifique.

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{u_{1}} + e^{u_{2}} + C_{4}$

Etapa 2.3.14

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 2.3.14.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- 2 x$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + e^{u_{2}} + C_{4}$

Etapa 2.3.14.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + e^{- x} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$f = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + e^{- x} + K$