Cálculo Exemplos

$x y + \frac{d y}{d x} = 100 x$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Subtraia $x y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} = 100 x - x y$

Etapa 1.2

Fatore.

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Etapa 1.2.1

Fatore $x$ de $100 x - x y$ .

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Etapa 1.2.1.1

Fatore $x$ de $100 x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 100 - x y$

Etapa 1.2.1.2

Fatore $x$ de $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 100 + x (- 1 y)$

Etapa 1.2.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot 100 + x (- 1 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = x (100 - 1 y)$

Etapa 1.2.2

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = x (100 - y)$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{100 - y}$ .

$\frac{1}{100 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{100 - y} (x (100 - y))$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $100 - y$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $100 - y$ de $x (100 - y)$ .

$\frac{1}{100 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{100 - y} ((100 - y) x)$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{100 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{100 - y} ((100 - y) x)$

Etapa 1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{100 - y} \frac{d y}{d x} = x$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{100 - y} d y = x d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{100 - y} d y = \int x d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = 100 - y$ . Depois, $d u = - d y$ , então, $- d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = 100 - y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 2.2.1.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int x d x$

Etapa 2.2.2

Divida a fração em diversas frações.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $100 - y$ .

$- \ln (| 100 - y |) + C_{1} = \int x d x$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \ln (| 100 - y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \ln (| 100 - y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $- \ln (| 100 - y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $- \ln (| 100 - y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 100 - y |)}{- 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\ln (| 100 - y |)}{1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.2.2

Divida $\ln (| 100 - y |)$ por $1$ .

$\ln (| 100 - y |) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1}$ .

$\ln (| 100 - y |) = - 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2})$ como $- (\frac{1}{2} x^{2})$ .

$\ln (| 100 - y |) = - (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\ln (| 100 - y |) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.4

Mova o número negativo do denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 100 - y |) = - \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot C$

Etapa 3.1.3.1.5

Reescreva $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| 100 - y |) = - \frac{x^{2}}{2} - C$

Etapa 3.2

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 100 - y |)} = e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}$

Etapa 3.3

Reescreva $\ln (| 100 - y |) = - \frac{x^{2}}{2} - C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2} - C} = | 100 - y |$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $| 100 - y | = e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}$ .

$| 100 - y | = e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}$

Etapa 3.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$100 - y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}$

Etapa 3.4.3

Subtraia $100$ dos dois lados da equação.

$- y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C} - 100$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $- y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C} - 100$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $- y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C} - 100$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}}{- 1} + \frac{- 100}{- 1}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}}{- 1} + \frac{- 100}{- 1}$

Etapa 3.4.4.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}}{- 1} + \frac{- 100}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.4.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}) + \frac{- 100}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C})$ como $- (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C})$ .

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}) + \frac{- 100}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3.1.3

Divida $- 100$ por $- 1$ .

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}) + 100$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}) + 100$

Etapa 4.2

Reescreva $e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}$ como $e^{- \frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2}} e^{C}) + 100$

Etapa 4.3

Reordene $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ e $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + 100$

Etapa 4.4

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = - (C e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + 100$