Cálculo Exemplos

$2 \frac{d y}{d x} = 4 x e^{- x}$ , $y (0) = 5$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$2 d y = 4 x e^{- x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 2 d y = \int 4 x e^{- x} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$2 y + C_{1} = \int 4 x e^{- x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$2 y + C_{1} = 4 \int x e^{- x} d x$

Etapa 2.3.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{- x}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

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Etapa 2.3.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Etapa 2.3.4.2

Multiplique $\int e^{- x} d x$ por $1$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Etapa 2.3.5

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.5.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.5.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3.5.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.5.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.3.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Etapa 2.3.6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Etapa 2.3.7

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

Etapa 2.3.8

Reescreva $4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ como $4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

Etapa 2.3.9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$

Etapa 3

Divida cada termo em $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K}{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{4 (- x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$y = \frac{- 4 (x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

Etapa 3.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$y = \frac{- 4 x e^{- x} - 4 e^{- x} + K}{2}$

Etapa 3.3.3

Simplifique com fatoração.

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Etapa 3.3.3.1

Fatore $- 1$ de $- 4 x e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - 4 e^{- x} + K}{2}$

Etapa 3.3.3.2

Fatore $- 1$ de $- 4 e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x}) + K}{2}$

Etapa 3.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x})$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) + K}{2}$

Etapa 3.3.3.4

Fatore $- 1$ de $K$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)}{2}$

Etapa 3.3.3.5

Fatore $- 1$ de $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

Etapa 3.3.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.3.6.1

Reescreva $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ como $- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ .

$y = \frac{- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

Etapa 3.3.3.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K}{2}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$

Etapa 5

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $x$ e $5$ por $y$ em $y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$ .

$5 = - \frac{4 \cdot 0 e^{- 0} + 4 e^{0} + K}{2}$

Etapa 6

Resolva $K$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2} = 5$ .

$- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2} = 5$

Etapa 6.2

Multiplique os dois lados da equação por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2}) = - 2 \cdot 5$

Etapa 6.3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 6.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.1.1

Simplifique $- 2 (- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2})$ .

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Etapa 6.3.1.1.1

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 6.3.1.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.1.1.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2}$ para o numerador.

$- 2 \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

Etapa 6.3.1.1.1.1.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

Etapa 6.3.1.1.1.1.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

Etapa 6.3.1.1.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- - (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Etapa 6.3.1.1.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.3.1.1.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- - (4 \cdot (0 e^{0}) + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Etapa 6.3.1.1.1.2.2

Multiplique por zero.

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Etapa 6.3.1.1.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $e^{0}$ .

$- - (4 \cdot 0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Etapa 6.3.1.1.1.2.2.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$- - (0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Etapa 6.3.1.1.1.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Etapa 6.3.1.1.1.2.4

Multiplique $0 + 4 e^{0} + K$ por $1$ .

$0 + 4 e^{0} + K = - 2 \cdot 5$

Etapa 6.3.1.1.1.2.5

Some $0$ e $4 e^{0}$ .

$4 e^{0} + K = - 2 \cdot 5$

Etapa 6.3.1.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$4 \cdot 1 + K = - 2 \cdot 5$

Etapa 6.3.1.1.2.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + K = - 2 \cdot 5$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.2.1

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$4 + K = - 10$

Etapa 6.4

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.4.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$K = - 10 - 4$

Etapa 6.4.2

Subtraia $4$ de $- 10$ .

$K = - 14$

Etapa 7

Substitua $- 14$ por $K$ em $y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Substitua $- 14$ por $K$ .

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - 14}{2}$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - 14$ e $2$ .

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Etapa 7.2.1

Fatore $2$ de $4 x e^{- x}$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x}) + 4 e^{- x} - 14}{2}$

Etapa 7.2.2

Fatore $2$ de $4 e^{- x}$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x}) + 2 (2 e^{- x}) - 14}{2}$

Etapa 7.2.3

Fatore $2$ de $2 (2 x e^{- x}) + 2 (2 e^{- x})$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 14}{2}$

Etapa 7.2.4

Fatore $2$ de $- 14$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + 2 \cdot - 7}{2}$

Etapa 7.2.5

Fatore $2$ de $2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + 2 (- 7)$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2}$

Etapa 7.2.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.6.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2 (1)}$

Etapa 7.2.6.2

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.2.6.3

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7}{1}$

Etapa 7.2.6.4

Divida $2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7$ por $1$ .

$y = - (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)$

Etapa 7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) - - 7$

Etapa 7.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = - 2 (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) - - 7$

Etapa 7.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} - - 7$

Etapa 7.4.3

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$y = - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + 7$

$y = - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + 7$