Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x + 3}{y - 5}$ , $y (0) = 8$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y - 5$ .

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = (y - 5) \frac{5 x + 3}{y - 5}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = (y - 5) \frac{5 x + 3}{y - 5}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = 5 x + 3$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$(y - 5) d y = (5 x + 3) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y - 5 d y = \int 5 x + 3 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int y d y + \int - 5 d y = \int 5 x + 3 d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 5 d y = \int 5 x + 3 d x$

Etapa 2.2.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 5 y + C_{2} = \int 5 x + 3 d x$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \int 5 x + 3 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \int 5 x d x + \int 3 d x$

Etapa 2.3.2

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 \int x d x + \int 3 d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int 3 d x$

Etapa 2.3.4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 3 x + C_{5}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + 3 x + C_{5}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \frac{5 x^{2}}{2} + 3 x + C_{6}$

Etapa 2.3.5.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y = \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y = \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + K$

Etapa 3.2

Combine $\frac{5}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y = \frac{5 x^{2}}{2} + 3 x + K$

Etapa 3.3

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Subtraia $\frac{5 x^{2}}{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{5 x^{2}}{2} = 3 x + K$

Etapa 3.3.2

Subtraia $3 x$ dos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{5 x^{2}}{2} - 3 x = K$

Etapa 3.3.3

Subtraia $K$ dos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{5 x^{2}}{2} - 3 x - K = 0$

Etapa 3.4

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $2$ . Depois, simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$y^{2} - 10 y + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5 x^{2}}{2}$ para o numerador.

$y^{2} - 10 y + 2 (\frac{- 5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.3.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} - 10 y + 2 (\frac{- 5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.3.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} - 10 y - 5 x^{2} + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.4

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$y^{2} - 10 y - 5 x^{2} - 6 x + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y^{2} - 10 y - 5 x^{2} - 6 x - 2 K = 0$

Etapa 3.4.3

Mova $- 10 y$ .

$y^{2} - 5 x^{2} - 6 x - 2 K - 10 y = 0$

Etapa 3.4.4

Mova $- 6 x$ .

$y^{2} - 5 x^{2} - 2 K - 6 x - 10 y = 0$

Etapa 3.4.5

Reordene $y^{2}$ e $- 5 x^{2}$ .

$- 5 x^{2} + y^{2} - 2 K - 6 x - 10 y = 0$

Etapa 3.5

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.6

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 10$ e $c = - 5 x^{2} - 2 K - 6 x$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 5 x^{2} - 2 K - 6 x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7

Simplifique.

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Etapa 3.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1

Eleve $- 10$ à potência de $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x^{2} - 2 K - 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (- 5 x^{2} - 2 K - 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 (- 5 x^{2}) - 4 (- 2 K) - 4 (- 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.4.1

Multiplique $- 5$ por $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 20 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (- 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.4.2

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 20 x^{2} + 8 K - 4 (- 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.4.3

Multiplique $- 6$ por $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 20 x^{2} + 8 K + 24 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5

Fatore $4$ de $100 + 20 x^{2} + 8 K + 24 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.5.1

Fatore $4$ de $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 20 x^{2} + 8 K + 24 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5.2

Fatore $4$ de $20 x^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (5 x^{2}) + 8 K + 24 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5.3

Fatore $4$ de $8 K$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (5 x^{2}) + 4 (2 K) + 24 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5.4

Fatore $4$ de $24 x$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (5 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5.5

Fatore $4$ de $4 (25) + 4 (5 x^{2})$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25 + 5 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5.6

Fatore $4$ de $4 (25 + 5 x^{2}) + 4 (2 K)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25 + 5 x^{2} + 2 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.5.7

Fatore $4$ de $4 (25 + 5 x^{2} + 2 K) + 4 (6 x)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.6

Reescreva $4 (25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)$ como $2^{2} (5^{2} + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.6.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (5^{2} + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{5^{2} + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.1.8

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2}$

Etapa 3.7.3

Simplifique $\frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2}$ .

$y = 5 \pm \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

Etapa 3.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$

Etapa 5

Como $y$ é positivo na condição inicial $(0, 8)$ , considere apenas $y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$ para encontrar $K$ . Substitua $0$ por $x$ e $8$ por $y$ .

$8 = 5 + \sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}$

Etapa 6

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação como $5 + \sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 8$ .

$5 + \sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 8$

Etapa 6.2

Mova todos os termos que não contêm $\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 8 - 5$

Etapa 6.2.2

Subtraia $5$ de $8$ .

$\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 3$

Etapa 6.3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}}^{2} = 3^{2}$

Etapa 6.4

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}$ como ${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 3^{2}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Simplifique ${({(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 6.4.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Etapa 6.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Etapa 6.4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{1} = 3^{2}$

Etapa 6.4.2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

${(25 + 5 \cdot 0 + K + 6 \cdot 0)}^{1} = 3^{2}$

Etapa 6.4.2.1.2.2

Multiplique $5$ por $0$ .

${(25 + 0 + K + 6 \cdot 0)}^{1} = 3^{2}$

Etapa 6.4.2.1.2.3

Multiplique $6$ por $0$ .

${(25 + 0 + K + 0)}^{1} = 3^{2}$

Etapa 6.4.2.1.3

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.3.1

Combine os termos opostos em $25 + 0 + K + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.3.1.1

Some $25$ e $0$ .

${(25 + K + 0)}^{1} = 3^{2}$

Etapa 6.4.2.1.3.1.2

Some $25 + K$ e $0$ .

${(25 + K)}^{1} = 3^{2}$

Etapa 6.4.2.1.3.2

Simplifique.

$25 + K = 3^{2}$

Etapa 6.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$25 + K = 9$

Etapa 6.5

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Subtraia $25$ dos dois lados da equação.

$K = 9 - 25$

Etapa 6.5.2

Subtraia $25$ de $9$ .

$K = - 16$

Etapa 7

Substitua $- 16$ por $K$ em $y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua $- 16$ por $K$ .

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} - 16 + 6 x}$

Etapa 7.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Subtraia $16$ de $25$ .

$y = 5 + \sqrt{5 x^{2} + 9 + 6 x}$

Etapa 7.2.2

Reordene os termos.

$y = 5 + \sqrt{5 x^{2} + 6 x + 9}$