Cálculo Exemplos

$y^{- 1} d y + y e^{\cos (x)} \sin (x) d x = 0$

Etapa 1

Subtraia $y e^{\cos (x)} \sin (x) d x$ dos dois lados da equação.

$y^{- 1} d y = - y e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} y^{- 1} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y} \cdot \frac{1}{y} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1}{y} \cdot \frac{1}{y}$ .

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Etapa 3.2.1

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y \cdot y} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Etapa 3.2.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{y^{1} y} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Etapa 3.2.3

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{y^{1} y^{1}} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Etapa 3.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{y^{1 + 1}} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Etapa 3.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{y} (y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y}$ para o numerador.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y} (y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Etapa 3.4.2

Fatore $y$ de $y e^{\cos (x)} \sin (x)$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y} (y (e^{\cos (x)} \sin (x))) d x$

Etapa 3.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y} (y (e^{\cos (x)} \sin (x))) d x$

Etapa 3.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - (e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

$\frac{1}{y^{2}} d y = - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.2.1.1

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Etapa 4.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Etapa 4.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Etapa 4.2.3

Reescreva $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Etapa 4.3.2

Deixe $u = \cos (x)$ . Depois, $d u = - \sin (x) d x$ , então, $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.3.2.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Diferencie $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 4.3.2.1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Etapa 4.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int - e^{u} d u$

Etapa 4.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - - \int e^{u} d u$

Etapa 4.3.4

Simplifique.

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Etapa 4.3.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 \int e^{u} d u$

Etapa 4.3.4.2

Multiplique $\int e^{u} d u$ por $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int e^{u} d u$

Etapa 4.3.5

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = e^{u} + C_{2}$

Etapa 4.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = e^{\cos (x)} + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{y} = e^{\cos (x)} + K$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 5.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y, 1, 1$

Etapa 5.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y$

Etapa 5.2

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = e^{\cos (x)} + K$ por $y$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = e^{\cos (x)} + K$ por $y$ .

$- \frac{1}{y} y = e^{\cos (x)} y + K y$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{y} y = e^{\cos (x)} y + K y$

Etapa 5.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{y} y = e^{\cos (x)} y + K y$

Etapa 5.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = e^{\cos (x)} y + K y$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Reordene os fatores em $e^{\cos (x)} y + K y$ .

$- 1 = y e^{\cos (x)} + K y$

Etapa 5.3

Resolva a equação.

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Etapa 5.3.1

Reescreva a equação como $y e^{\cos (x)} + K y = - 1$ .

$y e^{\cos (x)} + K y = - 1$

Etapa 5.3.2

Fatore $y$ de $y e^{\cos (x)} + K y$ .

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Etapa 5.3.2.1

Fatore $y$ de $K y$ .

$y e^{\cos (x)} + y K = - 1$

Etapa 5.3.2.2

Fatore $y$ de $y e^{\cos (x)} + y K$ .

$y (e^{\cos (x)} + K) = - 1$

Etapa 5.3.3

Divida cada termo em $y (e^{\cos (x)} + K) = - 1$ por $e^{\cos (x)} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.3.3.1

Divida cada termo em $y (e^{\cos (x)} + K) = - 1$ por $e^{\cos (x)} + K$ .

$\frac{y (e^{\cos (x)} + K)}{e^{\cos (x)} + K} = \frac{- 1}{e^{\cos (x)} + K}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $e^{\cos (x)} + K$ .

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Etapa 5.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (e^{\cos (x)} + K)}{e^{\cos (x)} + K} = \frac{- 1}{e^{\cos (x)} + K}$

Etapa 5.3.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{e^{\cos (x)} + K}$

Etapa 5.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1}{e^{\cos (x)} + K}$