Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + y = y x e^{x + 2}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} = y x e^{x + 2} - y$

Etapa 1.2

Fatore $y$ de $y x e^{x + 2} - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $y$ de $y x e^{x + 2}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x e^{x + 2}) - y$

Etapa 1.2.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x e^{x + 2}) + y \cdot - 1$

Etapa 1.2.3

Fatore $y$ de $y (x e^{x + 2}) + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x e^{x + 2} - 1)$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x e^{x + 2} - 1))$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x e^{x + 2} - 1))$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x e^{x + 2} - 1$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = (x e^{x + 2} - 1) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x e^{x + 2} - 1 d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x e^{x + 2} - 1 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x e^{x + 2} d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{x + 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - \int e^{x + 2} d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.3

Deixe $u = x + 2$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Deixe $u = x + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.1

Diferencie $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 2.3.3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.3.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.3.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - \int e^{u} d u + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.4

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - (e^{u} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.5

Aplique a regra da constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - (e^{u} + C_{2}) - x + C_{3}$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - e^{u} - x + C_{4}$

Etapa 2.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - e^{x + 2} - x + C_{4}$

Etapa 2.3.8

Reordene os termos.

$\ln (| y |) + C_{1} = e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y |) = e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C} = | y |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$ .

$| y | = e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$

Etapa 3.3.2

Reordene os fatores em $e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$ .

$| y | = e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2} + C}$

Etapa 3.3.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2} + C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva $e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2} + C}$ como $e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}} e^{C}$

Etapa 4.2

Reordene $e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}}$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}}$