Cálculo Exemplos

$y \frac{d y}{d x} = \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$y d y = \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $a$ é constante com relação a $x$ , mova $a$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = 1 + \frac{x}{b}$ . Depois, $d u = \frac{1}{b} d x$ , então, $b d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = 1 + \frac{x}{b}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $1 + \frac{x}{b}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \frac{x}{b}]$

Etapa 2.3.2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.3.2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \frac{x}{b}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$

Etapa 2.3.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$ .

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Etapa 2.3.2.1.3.1

Como $\frac{1}{b}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{b}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{b} \cdot 1$

Etapa 2.3.2.1.3.3

Multiplique $\frac{1}{b}$ por $1$ .

$0 + \frac{1}{b}$

Etapa 2.3.2.1.4

Some $0$ e $\frac{1}{b}$ .

$\frac{1}{b}$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{b}} d u$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{b}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} (1 b) d u$

Etapa 2.3.3.2

Multiplique $b$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} b d u$

Etapa 2.3.3.3

Combine $\frac{1}{u^{2}}$ e $b$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{b}{u^{2}} d u$

Etapa 2.3.4

Como $b$ é constante com relação a $u$ , mova $b$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a (b \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Etapa 2.3.5

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.5.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Etapa 2.3.5.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int u^{- 2} d u$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b (- u^{- 1} + C_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Reescreva $a b (- u^{- 1} + C_{2})$ como $a b (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.2.1

Combine $a$ e $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = b (- \frac{a}{u}) + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2

Combine $b$ e $\frac{a}{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{b a}{u} + C_{2}$

Etapa 2.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + \frac{x}{b}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.2.2.1.1.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{\frac{b}{b} + \frac{x}{b}} + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{\frac{b + x}{b}} + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y^{2} = 2 (- (b a \frac{b}{b + x}) + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Multiplique $b a \frac{b}{b + x}$ .

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Etapa 3.2.2.1.1.3.1

Combine $b$ e $\frac{b}{b + x}$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b \cdot b}{b + x}) + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.3.2

Eleve $b$ à potência de $1$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1} b}{b + x}) + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.3.3

Eleve $b$ à potência de $1$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1} b^{1}}{b + x}) + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1 + 1}}{b + x}) + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{2}}{b + x}) + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.3.6

Combine $a$ e $\frac{b^{2}}{b + x}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{a b^{2}}{b + x} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Para escrever $K$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{b + x}{b + x}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{a b^{2}}{b + x} + \frac{K (b + x)}{b + x})$

Etapa 3.2.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y^{2} = 2 \frac{- a b^{2} + K (b + x)}{b + x}$

Etapa 3.2.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{- a b^{2} + K b + K x}{b + x}$

Etapa 3.2.2.1.5

Simplifique os termos.

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Etapa 3.2.2.1.5.1

Combine $2$ e $\frac{- a b^{2} + K b + K x}{b + x}$ .

$y^{2} = \frac{2 (- a b^{2} + K b + K x)}{b + x}$

Etapa 3.2.2.1.5.2

Fatore $- 1$ de $- a b^{2}$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2}) + K b + K x)}{b + x}$

Etapa 3.2.2.1.5.3

Fatore $- 1$ de $K b$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2}) - (- K b) + K x)}{b + x}$

Etapa 3.2.2.1.5.4

Fatore $- 1$ de $- (a b^{2}) - (- K b)$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b) + K x)}{b + x}$

Etapa 3.2.2.1.5.5

Fatore $- 1$ de $K x$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b) - (- K x))}{b + x}$

Etapa 3.2.2.1.5.6

Fatore $- 1$ de $- (a b^{2} - K b) - (- K x)$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b - K x))}{b + x}$

Etapa 3.2.2.1.5.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.2.1.5.7.1

Reescreva $- (a b^{2} - K b - K x)$ como $- 1 (a b^{2} - K b - K x)$ .

$y^{2} = \frac{2 (- 1 (a b^{2} - K b - K x))}{b + x}$

Etapa 3.2.2.1.5.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = - \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Etapa 3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Etapa 3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Etapa 3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} + K b + K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} + K b + K x)}{b + x}}$