Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + y \tan (x) = \sin (2 x)$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $y$ de $y \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\tan (x)) = \sin (2 x)$

Etapa 1.2

Reordene $y$ e $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \tan (x) y = \sin (2 x)$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \tan (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \tan (x) d x}$

Etapa 2.2

A integral de $\tan (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sec (x) |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{\ln (\sec (x))}$

Etapa 2.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\sec (x)$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\sec (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\sec (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\tan (x) y) = \sec (x) \sin (2 x)$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\cos (x)} \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\tan (x) y) = \sec (x) \sin (2 x)$

Etapa 3.2.2

Combine $\frac{1}{\cos (x)}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \sec (x) (\tan (x) y) = \sec (x) \sin (2 x)$

Etapa 3.2.3

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (\tan (x) y) = \sec (x) \sin (2 x)$

Etapa 3.2.4

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \sin (2 x)$

Etapa 3.2.5

Combine $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \sec (x) \sin (2 x)$

Etapa 3.2.6

Multiplique $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.1

Multiplique $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = \sec (x) \sin (2 x)$

Etapa 3.2.6.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos (x)} = \sec (x) \sin (2 x)$

Etapa 3.2.6.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} = \sec (x) \sin (2 x)$

Etapa 3.2.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{{\cos (x)}^{1 + 1}} = \sec (x) \sin (2 x)$

Etapa 3.2.6.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \sec (x) \sin (2 x)$

Etapa 3.3

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos (x)} \sin (2 x)$

Etapa 3.4

Combine $\frac{1}{\cos (x)}$ e $\sin (2 x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (2 x)}{\cos (x)}$

Etapa 3.5

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Etapa 3.6

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Etapa 3.6.2

Divida $2 \sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = 2 \sin (x)$

Etapa 3.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Separe as frações.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = 2 \sin (x)$

Etapa 3.7.2

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = 2 \sin (x)$

Etapa 3.7.3

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = 2 \sin (x)$

Etapa 3.7.4

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = 2 \sin (x)$

Etapa 3.7.5

Separe as frações.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 2 \sin (x)$

Etapa 3.7.6

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{\cos (x)} \tan (x) = 2 \sin (x)$

Etapa 3.7.7

Separe as frações.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) = 2 \sin (x)$

Etapa 3.7.8

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{1} \sec (x) \tan (x) = 2 \sin (x)$

Etapa 3.7.9

Divida $y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = 2 \sin (x)$

Etapa 3.8

Reordene os fatores em $\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = 2 \sin (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + y \sec (x) \tan (x) = 2 \sin (x)$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\sec (x) y] = 2 \sin (x)$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\sec (x) y] d x = \int 2 \sin (x) d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\sec (x) y = \int 2 \sin (x) d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\sec (x) y = 2 \int \sin (x) d x$

Etapa 7.2

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$\sec (x) y = 2 (- \cos (x) + C)$

Etapa 7.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Simplifique.

$\sec (x) y = 2 (- \cos (x)) + C$

Etapa 7.3.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\sec (x) y = - 2 \cos (x) + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $\sec (x) y = - 2 \cos (x) + C$ por $\sec (x)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Divida cada termo em $\sec (x) y = - 2 \cos (x) + C$ por $\sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{- 2 \cos (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $\sec (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{- 2 \cos (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \cos (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Separe as frações.

$y = \frac{- 2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Etapa 8.3.1.2

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$y = \frac{- 2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

Etapa 8.3.1.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = \frac{- 2}{1} (\cos (x) \cos (x)) + \frac{C}{\sec (x)}$

Etapa 8.3.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.4.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$y = \frac{- 2}{1} (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \frac{C}{\sec (x)}$

Etapa 8.3.1.4.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$y = \frac{- 2}{1} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \frac{C}{\sec (x)}$

Etapa 8.3.1.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{- 2}{1} {\cos (x)}^{1 + 1} + \frac{C}{\sec (x)}$

Etapa 8.3.1.4.4

Some $1$ e $1$ .

$y = \frac{- 2}{1} \cos^{2} (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Etapa 8.3.1.5

Divida $- 2$ por $1$ .

$y = - 2 \cos^{2} (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Etapa 8.3.1.6

Separe as frações.

$y = - 2 \cos^{2} (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

Etapa 8.3.1.7

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$y = - 2 \cos^{2} (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Etapa 8.3.1.8

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = - 2 \cos^{2} (x) + \frac{C}{1} (1 \cos (x))$

Etapa 8.3.1.9

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$y = - 2 \cos^{2} (x) + \frac{C}{1} \cos (x)$

Etapa 8.3.1.10

Divida $C$ por $1$ .

$y = - 2 \cos^{2} (x) + C \cos (x)$