Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique $\frac{y}{2 + 3 y}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

Etapa 1.1.3.3

Reordene os fatores em $\frac{y}{(2 + 3 y) x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x (2 + 3 y)}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{2 + 3 y}{y}$ .

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} (\frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Multiplique $\frac{y}{2 + 3 y}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $2 + 3 y$ .

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Etapa 1.4.2.1

Fatore $2 + 3 y$ de $(2 + 3 y) x$ .

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) (x)}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

Etapa 1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Etapa 1.4.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.4.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Etapa 1.4.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{2 + 3 y}{y} d y = \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{2 + 3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a fração em diversas frações.

$\int \frac{2}{y} + \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{2}{y} d y + \int \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{2}{y} d y + \int \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.3.2

Divida $3$ por $1$ .

$\int \frac{2}{y} d y + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.4

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{1}{y} d y + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.5

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.6

Aplique a regra da constante.

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) + 3 y + C_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.7

Simplifique.

$2 \ln (| y |) + 3 y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.8

Reordene os termos.

$3 y + 2 \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$3 y + 2 \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$3 y + 2 \ln (| y |) = \ln (| x |) + C$