Cálculo Exemplos

$(y^{2} + 4 y - 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - 2 x + 3$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$(y^{2} + 4 y - 1) d y = (x^{2} - 2 x + 3) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y^{2} + 4 y - 1 d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int y^{2} d y + \int 4 y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int 4 y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Etapa 2.2.3

Como $4$ é constante com relação a $y$ , mova $4$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + 4 \int y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Etapa 2.2.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) + \int - 1 d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Etapa 2.2.5

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) - y + C_{3} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + 4 (\frac{y^{2}}{2} + C_{2}) - y + C_{3} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Etapa 2.2.6.2

Simplifique.

$\frac{y^{3}}{3} + 2 y^{2} - y + C_{4} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Etapa 2.2.6.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} y^{3} + 2 y^{2} - y + C_{4} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Etapa 2.2.7

Reordene os termos.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int 3 d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} + \int - 2 x d x + \int 3 d x$

Etapa 2.3.3

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} - 2 \int x d x + \int 3 d x$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{6}) + \int 3 d x$

Etapa 2.3.5

Aplique a regra da constante.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{6}) + 3 x + C_{7}$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{6}) + 3 x + C_{7}$

Etapa 2.3.6.2

Simplifique.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 3 x + C_{8}$

Etapa 2.3.6.3

Reordene os termos.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 3 x + C_{8}$

Etapa 2.3.7

Reordene os termos.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + C_{8}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$