Cálculo Exemplos

$(\frac{1}{y}) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = \frac{1}{y}$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{- 1}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y^{- 2}$

Etapa 1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{1}{y^{2}}$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 y - \frac{x}{y^{2}})]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [3 y - \frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 y - \frac{x}{y^{2}}]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 y - \frac{x}{y^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}])$

Etapa 2.4

Como $3 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}])$

Etapa 2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$

Etapa 2.6

Como $- \frac{1}{y^{2}}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x}{y^{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (- \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.7

Multiplique.

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Etapa 2.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 (\frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.7.2

Multiplique $\frac{1}{y^{2}}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot 1$

Etapa 2.9

Multiplique $\frac{1}{y^{2}}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $- \frac{1}{y^{2}}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $\frac{1}{y^{2}}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}}$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$- \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}}$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $\frac{1}{y^{2}}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $- \frac{1}{y^{2}}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $\frac{1}{y}$ por $M$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $\frac{1}{y}$ por $M$ .

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{y}}$

Etapa 4.3.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}) y$

Etapa 4.3.3

Multiplique $- - \frac{1}{y^{2}}$ .

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Etapa 4.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$(\frac{1}{y^{2}} + 1 \frac{1}{y^{2}}) y$

Etapa 4.3.3.2

Multiplique $\frac{1}{y^{2}}$ por $1$ .

$(\frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}) y$

Etapa 4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 + 1}{y^{2}} y$

Etapa 4.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2}{y^{2}} y$

Etapa 4.3.6

Substitua $\frac{1}{y}$ por $M$ .

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Etapa 4.3.6.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{2}{y \cdot y} y$

Etapa 4.3.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{y \cdot y} y$

Etapa 4.3.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ .

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Etapa 5.1

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 5.3

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

Etapa 5.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1

Simplifique $2 \ln (| y |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

Etapa 5.4.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

Etapa 5.4.3

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = y^{2} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $\frac{1}{y} d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$ pelo fator de integração $y^{2}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $y^{2}$ .

$\frac{1}{y} y^{2} d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Etapa 6.2.3

Reescreva a expressão.

$y d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $- (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ por $y^{2}$ .

$y d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$y d x + (- (3 y) - - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$y d x + (- 3 y - - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Etapa 6.6

Multiplique $- - \frac{x}{y^{2}}$ .

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Etapa 6.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y d x + (- 3 y + 1 \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Etapa 6.6.2

Multiplique $\frac{x}{y^{2}}$ por $1$ .

$y d x + (- 3 y + \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Etapa 6.7

Aplique a propriedade distributiva.

$y d x + (- 3 y \cdot y^{2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.8

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.8.1

Mova $y^{2}$ .

$y d x + (- 3 (y^{2} y) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.8.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 6.8.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y d x + (- 3 (y^{2} y^{1}) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y d x + (- 3 y^{2 + 1} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.8.3

Some $2$ e $1$ .

$y d x + (- 3 y^{3} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.9

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 6.9.1

Cancele o fator comum.

$y d x + (- 3 y^{3} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.9.2

Reescreva a expressão.

$y d x + (- 3 y^{3} + x) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = y$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = y x + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = y x + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - 3 y^{3} + x$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y x]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y x$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Etapa 11.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + x$

Etapa 11.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + x = - 3 y^{3} + x$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + x - x$

Etapa 12.1.2

Combine os termos opostos em $- 3 y^{3} + x - x$ .

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Etapa 12.1.2.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + 0$

Etapa 12.1.2.2

Some $- 3 y^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $- 3 y^{3}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 3 y^{3} d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 3 y^{3} d y$

Etapa 13.3

Como $- 3$ é constante com relação a $y$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$g (y) = - 3 \int y^{3} d y$

Etapa 13.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = - 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Etapa 13.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 13.5.1

Reescreva $- 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ como $- 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ .

$g (y) = - 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Etapa 13.5.2

Simplifique.

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Etapa 13.5.2.1

Combine $- 3$ e $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = \frac{- 3}{4} y^{4} + C$

Etapa 13.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$g (y) = - \frac{3}{4} y^{4} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = y x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x - \frac{3}{4} y^{4} + C$

Etapa 15

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1

Combine $y^{4}$ e $\frac{3}{4}$ .

$f (x, y) = y x - \frac{y^{4} \cdot 3}{4} + C$

Etapa 15.2

Mova $3$ para a esquerda de $y^{4}$ .

$f (x, y) = y x - \frac{3 y^{4}}{4} + C$