Cálculo Exemplos

$x y^{4} d x + (y^{2} + 2) e^{x} d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $x y^{4} d x$ dos dois lados da equação.

$(y^{2} + 2) e^{x} d y = - x y^{4} d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{e^{x} y^{4}}$ .

$\frac{1}{e^{x} y^{4}} ((y^{2} + 2) e^{x}) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} y^{4}$ .

$\frac{1}{e^{x} (y^{4})} ((y^{2} + 2) e^{x}) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Etapa 3.1.2

Fatore $e^{x}$ de $(y^{2} + 2) e^{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} (y^{4})} (e^{x} (y^{2} + 2)) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Etapa 3.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{e^{x} y^{4}} (e^{x} (y^{2} + 2)) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Etapa 3.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{4}} (y^{2} + 2) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1}{y^{4}}$ por $y^{2} + 2$ .

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = - \frac{1}{e^{x} y^{4}} (x y^{4}) d x$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $y^{4}$ .

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Etapa 3.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{e^{x} y^{4}}$ para o numerador.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{e^{x} y^{4}} (x y^{4}) d x$

Etapa 3.4.2

Fatore $y^{4}$ de $e^{x} y^{4}$ .

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{y^{4} e^{x}} (x y^{4}) d x$

Etapa 3.4.3

Fatore $y^{4}$ de $x y^{4}$ .

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{y^{4} e^{x}} (y^{4} x) d x$

Etapa 3.4.4

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{y^{4} e^{x}} (y^{4} x) d x$

Etapa 3.4.5

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{e^{x}} x d x$

Etapa 3.5

Combine $\frac{- 1}{e^{x}}$ e $x$ .

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- x}{e^{x}} d x$

Etapa 3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = - \frac{x}{e^{x}} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.2.1.1

Mova $y^{4}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (y^{2} + 2) {(y^{4})}^{- 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{4})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y^{2} + 2) y^{4 \cdot - 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Etapa 4.2.1.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\int (y^{2} + 2) y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Etapa 4.2.2

Multiplique $(y^{2} + 2) y^{- 4}$ .

$\int y^{2} y^{- 4} + 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Etapa 4.2.3

Multiplique $y^{2}$ por $y^{- 4}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int y^{2 - 4} + 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Etapa 4.2.3.2

Subtraia $4$ de $2$ .

$\int y^{- 2} + 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Etapa 4.2.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int y^{- 2} d y + \int 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Etapa 4.2.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} + \int 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Etapa 4.2.6

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 \int y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Etapa 4.2.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 4}$ com relação a $y$ é $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 (- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{2}) = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Etapa 4.2.8

Simplifique.

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Etapa 4.2.8.1

Simplifique.

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Etapa 4.2.8.1.1

Combine $y^{- 3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 (- \frac{y^{- 3}}{3} + C_{2}) = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Etapa 4.2.8.1.2

Mova $y^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 (- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{2}) = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Etapa 4.2.8.2

Simplifique.

$- \frac{1}{y} + 2 (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Etapa 4.2.8.3

Simplifique.

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Etapa 4.2.8.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{y} - 2 \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Etapa 4.2.8.3.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{3 y^{3}}$ .

$- \frac{1}{y} + \frac{- 2}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Etapa 4.2.8.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int \frac{x}{e^{x}} d x$

Etapa 4.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.2.1

Negative o expoente de $e^{x}$ e o mova para fora do denominador.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique os expoentes em ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x e^{x \cdot - 1} d x$

Etapa 4.3.2.2.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x e^{- 1 \cdot x} d x$

Etapa 4.3.2.2.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x e^{- x} d x$

Etapa 4.3.3

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{- x}$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Etapa 4.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Etapa 4.3.5

Simplifique.

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Etapa 4.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Etapa 4.3.5.2

Multiplique $\int e^{- x} d x$ por $1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Etapa 4.3.6

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.3.6.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.3.6.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.3.6.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3.6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 4.3.6.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 4.3.6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Etapa 4.3.7

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Etapa 4.3.8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{4}))$

Etapa 4.3.9

Reescreva $- (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{4}))$ como $- (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{4}$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{4}$

Etapa 4.3.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{4}$

Etapa 4.3.11

Simplifique.

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Etapa 4.3.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (- x e^{- x}) - - e^{- x} + C_{4}$

Etapa 4.3.11.2

Multiplique $- (- x e^{- x})$ .

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Etapa 4.3.11.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = 1 (x e^{- x}) - - e^{- x} + C_{4}$

Etapa 4.3.11.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = x e^{- x} - - e^{- x} + C_{4}$

Etapa 4.3.11.3

Multiplique $- - e^{- x}$ .

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Etapa 4.3.11.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = x e^{- x} + 1 e^{- x} + C_{4}$

Etapa 4.3.11.3.2

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = x e^{- x} + e^{- x} + C_{4}$

Etapa 4.3.12

Reordene os termos.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = e^{- x} x + e^{- x} + C_{4}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} = e^{- x} x + e^{- x} + K$