Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = 10 t + 9 t^{2}$ , $y (1) = 2$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (10 t + 9 t^{2}) d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 10 t + 9 t^{2} d t$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 10 t + 9 t^{2} d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int 10 t d t + \int 9 t^{2} d t$

Etapa 2.3.2

Como $10$ é constante com relação a $t$ , mova $10$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 10 \int t d t + \int 9 t^{2} d t$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t$ com relação a $t$ é $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int 9 t^{2} d t$

Etapa 2.3.4

Como $9$ é constante com relação a $t$ , mova $9$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 9 \int t^{2} d t$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 9 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{3})$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Simplifique.

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2}) t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.1

Combine $10$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{10}{2} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2

Cancele o fator comum de $10$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.2.1

Fatore $2$ de $10$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = \frac{5}{1} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2.2.4

Divida $5$ por $1$ .

$y + C_{1} = 5 t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.3

Combine $9$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{9}{3} t^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.4

Cancele o fator comum de $9$ e $3$ .

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Etapa 2.3.6.2.4.1

Fatore $3$ de $9$ .

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{3 \cdot 3}{3} t^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.4.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} t^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} t^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{3}{1} t^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.4.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$y + C_{1} = 5 t^{2} + 3 t^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.7

Reordene os termos.

$y + C_{1} = 3 t^{3} + 5 t^{2} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = 3 t^{3} + 5 t^{2} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $1$ por $t$ e $2$ por $y$ em $y = 3 t^{3} + 5 t^{2} + K$ .

$2 = 3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + K = 2$ .

$3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + K = 2$

Etapa 4.2

Simplifique $3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + K$ .

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 \cdot 1 + 5 \cdot 1^{2} + K = 2$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + 5 \cdot 1^{2} + K = 2$

Etapa 4.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 + 5 \cdot 1 + K = 2$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$3 + 5 + K = 2$

Etapa 4.2.2

Some $3$ e $5$ .

$8 + K = 2$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$K = 2 - 8$

Etapa 4.3.2

Subtraia $8$ de $2$ .

$K = - 6$

Etapa 5

Substitua $- 6$ por $K$ em $y = 3 t^{3} + 5 t^{2} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $- 6$ por $K$ .

$y = 3 t^{3} + 5 t^{2} - 6$