Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \cot (x)$ , $y (- 3) = 7$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \cot (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \cot (x) d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \cot (x) d x$

Etapa 2.3

A integral de $\cot (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sin (x) |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| \sin (x) |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = \ln (| \sin (x) |) + C$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $- 3$ por $x$ e $7$ por $y$ em $y = \ln (| \sin (x) |) + C$ .

$7 = \ln (| \sin (- 3) |) + C$

Etapa 4

Resolva $C$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\ln (| \sin (- 3) |) + C = 7$ .

$\ln (| \sin (- 3) |) + C = 7$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Avalie $\sin (- 3)$ .

$\ln (| - 0.05233595 |) + C = 7$

Etapa 4.2.1.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 0.05233595$ e $0$ é $0.05233595$ .

$\ln (0.05233595) + C = 7$

Etapa 4.3

Subtraia $\ln (0.05233595)$ dos dois lados da equação.

$C = 7 - \ln (0.05233595)$

Etapa 5

Substitua $7 - \ln (0.05233595)$ por $C$ em $y = \ln (| \sin (x) |) + C$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $7 - \ln (0.05233595)$ por $C$ .

$y = \ln (| \sin (x) |) + 7 - \ln (0.05233595)$

Etapa 5.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y = \ln (\frac{| \sin (x) |}{0.05233595}) + 7$

Etapa 5.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1

Multiplique por $1$ .

$y = \ln (\frac{1 | \sin (x) |}{0.05233595}) + 7$

Etapa 5.3.2

Fatore $0.05233595$ de $0.05233595$ .

$y = \ln (\frac{1 | \sin (x) |}{0.05233595 (1)}) + 7$

Etapa 5.3.3

Separe as frações.

$y = \ln (\frac{1}{0.05233595} \cdot \frac{| \sin (x) |}{1}) + 7$

Etapa 5.3.4

Divida $1$ por $0.05233595$ .

$y = \ln (19.1073226 \frac{| \sin (x) |}{1}) + 7$

Etapa 5.3.5

Divida $| \sin (x) |$ por $1$ .

$y = \ln (19.1073226 | \sin (x) |) + 7$