Cálculo Exemplos

$(2 x^{2} - y e^{x}) d x - e^{x} d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 x^{2} - y e^{x}$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} - y e^{x}]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - y e^{x}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y e^{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y e^{x}]$

Etapa 1.2.2

Como $2 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y e^{x}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- y e^{x}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- e^{x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y e^{x}$ em relação a $y$ é $- e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - e^{x} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - e^{x} \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - e^{x}$

Etapa 1.4

Subtraia $e^{x}$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - e^{x}$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - e^{x}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - e^{x}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $- e^{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- e^{x}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- e^{x} = - e^{x}$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$- e^{x} = - e^{x}$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - e^{x} d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = - e^{x}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = - e^{x} y + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = - e^{x} y + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x^{2} - y e^{x}$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{x} y + g (x)] = 2 x^{2} - y e^{x}$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- e^{x} y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} - y e^{x}$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- e^{x} y]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{x} y$ em relação a $x$ é $- y \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} - y e^{x}$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- y e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} - y e^{x}$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$- y e^{x} + \frac{d g}{d x} = 2 x^{2} - y e^{x}$

Etapa 8.5

Simplifique.

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Etapa 8.5.1

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - e^{x} y = 2 x^{2} - y e^{x}$

Etapa 8.5.2

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d x} - e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} - y e^{x} = 2 x^{2} - y e^{x}$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Some $y e^{x}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{2} - y e^{x} + y e^{x}$

Etapa 9.1.2

Combine os termos opostos em $2 x^{2} - y e^{x} + y e^{x}$ .

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Etapa 9.1.2.1

Some $- y e^{x}$ e $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{2} + 0$

Etapa 9.1.2.2

Some $2 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{2}$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $2 x^{2}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 2 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x^{2} d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x^{2} d x$

Etapa 10.3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$g (x) = 2 \int x^{2} d x$

Etapa 10.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Etapa 10.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.5.1

Reescreva $2 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ como $2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Etapa 10.5.2

Combine $2$ e $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{2}{3} x^{3} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = - e^{x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = - e^{x} y + \frac{2}{3} x^{3} + C$

Etapa 12

Simplifique $f (x, y) = - e^{x} y + \frac{2}{3} x^{3} + C$ .

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Etapa 12.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = - e^{x} y + \frac{2 x^{3}}{3} + C$

Etapa 12.2

Reordene os fatores em $f (x, y) = - e^{x} y + \frac{2 x^{3}}{3} + C$ .

$f (x, y) = - y e^{x} + \frac{2 x^{3}}{3} + C$