Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{y} = 4 y \frac{d y}{d x}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Inverta os lados para calcular $\frac{d y}{d x}$ no lado esquerdo.

$4 y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y (4 y \frac{d y}{d x}) = y \frac{x^{2}}{y}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$y (4 y \frac{d y}{d x}) = y \frac{x^{2}}{y}$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$y (4 y \frac{d y}{d x}) = x^{2}$

Etapa 1.4

Remova os parênteses desnecessários.

$y \cdot 4 y \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$y \cdot 4 y d y = x^{2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y \cdot 4 y d y = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique.

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Etapa 2.2.1.1

Mova $4$ para a esquerda de $y$ .

$\int 4 \cdot y \cdot y d y = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.1.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\int 4 (y^{1} y) d y = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.1.3

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\int 4 (y^{1} y^{1}) d y = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 4 y^{1 + 1} d y = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.1.5

Some $1$ e $1$ .

$\int 4 y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.2

Como $4$ é constante com relação a $y$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.2.4.1

Reescreva $4 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ como $4 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ .

$4 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.4.2

Combine $4$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{4}{3} y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} y^{3}) = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $\frac{3}{4} (\frac{4}{3} y^{3})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{4}{3}$ e $y^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y^{3}}{3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Combine.

$\frac{3 (4 y^{3})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (4 y^{3})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 y^{3}}{4} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y^{3}}{4} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.4.2

Divida $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $\frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y^{3} = \frac{3}{4} (\frac{x^{3}}{3} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{4} K$

Etapa 3.2.2.1.3

Combine.

$y^{3} = \frac{3 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{3}{4} K$

Etapa 3.2.2.1.4

Combine $\frac{3}{4}$ e $K$ .

$y^{3} = \frac{3 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{3 K}{4}$

Etapa 3.2.2.1.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.2.1.5.1

Cancele o fator comum.

$y^{3} = \frac{3 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{3 K}{4}$

Etapa 3.2.2.1.5.2

Reescreva a expressão.

$y^{3} = \frac{x^{3}}{4} + \frac{3 K}{4}$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 K}{4}}$

Etapa 3.4

Simplifique $\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 K}{4}}$ .

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Etapa 3.4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{4}}$

Etapa 3.4.2

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{4}}$ como $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Etapa 3.4.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.4.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Etapa 3.4.4.2

Eleve $\sqrt[3]{4}$ à potência de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Etapa 3.4.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Etapa 3.4.4.4

Some $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Etapa 3.4.4.5

Reescreva ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ como $4$ .

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Etapa 3.4.4.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{4}$ como $4^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 3.4.4.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 3.4.4.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.4.4.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.4.4.5.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.4.4.5.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Etapa 3.4.4.5.5

Avalie o expoente.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Etapa 3.4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.5.1

Reescreva ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ como $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Etapa 3.4.5.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{16}}{4}$

Etapa 3.4.5.3

Reescreva $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

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Etapa 3.4.5.3.1

Fatore $8$ de $16$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Etapa 3.4.5.3.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Etapa 3.4.5.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Etapa 3.4.5.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{4}$

Etapa 3.4.6

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 3.4.6.1

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 3.4.6.1.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{4}$

Etapa 3.4.6.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.6.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4.6.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4.6.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2}$

Etapa 3.4.6.2

Reordene os fatores em $\frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (x^{3} + 3 K)}}{2}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (x^{3} + K)}}{2}$