Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 10 x - 9$ e $y (5) = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (10 x - 9) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 10 x - 9 d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 10 x - 9 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int 10 x d x + \int - 9 d x$

Etapa 2.3.2

Como $10$ é constante com relação a $x$ , mova $10$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 10 \int x d x + \int - 9 d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 9 d x$

Etapa 2.3.4

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 9 x + C_{3}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 10 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 9 x + C_{3}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

$y + C_{1} = 5 x^{2} - 9 x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = 5 x^{2} - 9 x + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $5$ por $x$ e $0$ por $y$ em $y = 5 x^{2} - 9 x + K$ .

$0 = 5 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $5 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K = 0$ .

$5 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K = 0$

Etapa 4.2

Simplifique $5 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K$ .

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Multiplique $5$ por $5^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.1.1.1

Multiplique $5$ por $5^{2}$ .

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Etapa 4.2.1.1.1.1

Eleve $5$ à potência de $1$ .

$5^{1} \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K = 0$

Etapa 4.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5^{1 + 2} - 9 \cdot 5 + K = 0$

Etapa 4.2.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$5^{3} - 9 \cdot 5 + K = 0$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$125 - 9 \cdot 5 + K = 0$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $- 9$ por $5$ .

$125 - 45 + K = 0$

Etapa 4.2.2

Subtraia $45$ de $125$ .

$80 + K = 0$

Etapa 4.3

Subtraia $80$ dos dois lados da equação.

$K = - 80$

Etapa 5

Substitua $- 80$ por $K$ em $y = 5 x^{2} - 9 x + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $- 80$ por $K$ .

$y = 5 x^{2} - 9 x - 80$