Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = x y$ , $y (0) = 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x y)$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = x d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x d x$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C} = | y |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Etapa 3.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$| y | = e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Etapa 3.3.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva $e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$ como $e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$

Etapa 4.2

Reordene $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Etapa 5

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $x$ e $1$ por $y$ em $y = C e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$1 = C e^{\frac{0^{2}}{2}}$

Etapa 6

Resolva $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação como $C e^{\frac{0^{2}}{2}} = 1$ .

$C e^{\frac{0^{2}}{2}} = 1$

Etapa 6.2

Simplifique $C e^{\frac{0^{2}}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$C e^{\frac{0}{2}} = 1$

Etapa 6.2.2

Divida $0$ por $2$ .

$C e^{0} = 1$

Etapa 6.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$C \cdot 1 = 1$

Etapa 6.2.4

Multiplique $C$ por $1$ .

$C = 1$

Etapa 7

Substitua $1$ por $C$ em $y = C e^{\frac{x^{2}}{2}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua $1$ por $C$ .

$y = 1 e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Etapa 7.2

Multiplique $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ por $1$ .

$y = e^{\frac{x^{2}}{2}}$