Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = 16 x$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int 2 x d x}$

Etapa 1.2

Integre $2 x$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{2 \int x d x}$

Etapa 1.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{1 x^{2} + C}$

Etapa 1.2.3.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{x^{2}}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{x^{2}}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} (16 x)$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (16 x)$

Etapa 2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 16 e^{x^{2}} x$

Etapa 2.4

Reordene os fatores em $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 16 e^{x^{2}} x$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = 16 x e^{x^{2}}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = 16 x e^{x^{2}}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int 16 x e^{x^{2}} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{x^{2}} y = \int 16 x e^{x^{2}} d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Como $16$ é constante com relação a $x$ , mova $16$ para fora da integral.

$e^{x^{2}} y = 16 \int x e^{x^{2}} d x$

Etapa 6.2

Deixe $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Depois, $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 6.2.1

Deixe $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 6.2.1.1

Diferencie $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Etapa 6.2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 6.2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 6.2.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 6.2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 6.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Etapa 6.2.1.4

Simplifique.

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Etapa 6.2.1.4.1

Reordene os fatores de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Etapa 6.2.1.4.2

Reordene os fatores em $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Etapa 6.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{x^{2}} y = 16 \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 6.3

Aplique a regra da constante.

$e^{x^{2}} y = 16 (\frac{1}{2} u_{2} + C)$

Etapa 6.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.4.1

Reescreva $16 (\frac{1}{2} u_{2} + C)$ como $16 (\frac{1}{2}) u_{2} + C$ .

$e^{x^{2}} y = 16 (\frac{1}{2}) u_{2} + C$

Etapa 6.4.2

Simplifique.

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Etapa 6.4.2.1

Combine $16$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{16}{2} u_{2} + C$

Etapa 6.4.2.2

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

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Etapa 6.4.2.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{2 \cdot 8}{2} u_{2} + C$

Etapa 6.4.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.4.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} u_{2} + C$

Etapa 6.4.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{x^{2}} y = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} u_{2} + C$

Etapa 6.4.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{x^{2}} y = \frac{8}{1} u_{2} + C$

Etapa 6.4.2.2.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$e^{x^{2}} y = 8 u_{2} + C$

Etapa 6.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = 8 e^{x^{2}} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{x^{2}} y = 8 e^{x^{2}} + C$ por $e^{x^{2}}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{x^{2}} y = 8 e^{x^{2}} + C$ por $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{8 e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{x^{2}}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{8 e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{8 e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Cancele o fator comum de $e^{x^{2}}$ .

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Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{8 e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Etapa 7.3.1.2

Divida $8$ por $1$ .

$y = 8 + \frac{C}{e^{x^{2}}}$