Cálculo Exemplos

$x \cdot \frac{d y}{d x} = y$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $x \cdot \frac{d y}{d x} = y$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $x \cdot \frac{d y}{d x} = y$ por $x$ .

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = C$

Etapa 3.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = C$

Etapa 3.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{C}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| x |}$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $\frac{| y |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{C}$

Etapa 3.5.2

Multiplique os dois lados por $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Etapa 3.5.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Cancele o fator comum de $| x |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Etapa 3.5.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| y | = e^{C} | x |$

Etapa 3.5.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Reordene os fatores em $e^{C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{C}$

Etapa 3.5.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm | x | C$

Etapa 4.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C | x |$