Cálculo Exemplos

Solve $\frac{d y}{d x} = (2 - y) \sin (x)$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{2 - y}$ .

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} ((2 - y) \sin (x))$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $2 - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $2 - y$ de $(2 - y) \sin (x)$ .

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} ((2 - y) (\sin (x)))$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} ((2 - y) \sin (x))$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{2 - y} d y = \sin (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{2 - y} d y = \int \sin (x) d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u = 2 - y$ . Depois, $d u = - d y$ , então, $- d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = 2 - y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 2.2.1.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \sin (x) d x$

Etapa 2.2.2

Divida a fração em diversas frações.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \sin (x) d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \sin (x) d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \sin (x) d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \sin (x) d x$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 - y$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int \sin (x) d x$

Etapa 2.3

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = - \cos (x) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \ln (| 2 - y |) = - \cos (x) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Divida cada termo em $- \ln (| 2 - y |) = - \cos (x) + C$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $- \ln (| 2 - y |) = - \cos (x) + C$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 2 - y |)}{- 1} = \frac{- \cos (x)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\ln (| 2 - y |)}{1} = \frac{- \cos (x)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.2.2

Divida $\ln (| 2 - y |)$ por $1$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{- \cos (x)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\ln (| 2 - y |) = \cos (x) + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 2 - y |) = \cos (x) - 1 \cdot C$

Etapa 3.1.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| 2 - y |) = \cos (x) - C$

Etapa 3.2

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 2 - y |)} = e^{\cos (x) - C}$

Etapa 3.3

Reescreva $\ln (| 2 - y |) = \cos (x) - C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\cos (x) - C} = | 2 - y |$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $| 2 - y | = e^{\cos (x) - C}$ .

$| 2 - y | = e^{\cos (x) - C}$

Etapa 3.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$2 - y = \pm e^{\cos (x) - C}$

Etapa 3.4.3

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- y = \pm e^{\cos (x) - C} - 2$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $- y = \pm e^{\cos (x) - C} - 2$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $- y = \pm e^{\cos (x) - C} - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{\cos (x) - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{\cos (x) - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 3.4.4.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\cos (x) - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\pm e^{\cos (x) - C}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{\cos (x) - C}) + \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (\pm e^{\cos (x) - C})$ como $- (\pm e^{\cos (x) - C})$ .

$y = - (\pm e^{\cos (x) - C}) + \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3.1.3

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$y = - (\pm e^{\cos (x) - C}) + 2$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = - (\pm e^{\cos (x) + C}) + 2$

Etapa 4.2

Reescreva $e^{\cos (x) + C}$ como $e^{\cos (x)} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{\cos (x)} e^{C}) + 2$

Etapa 4.3

Reordene $e^{\cos (x)}$ e $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{\cos (x)}) + 2$

Etapa 4.4

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = - (C e^{\cos (x)}) + 2$