Cálculo Exemplos

$x (2 x^{2} + y^{2}) d x + y (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x (2 x^{2} + y^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x (2 x^{2} + y^{2})]$

Etapa 1.2

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x (2 x^{2} + y^{2})$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [2 x^{2} + y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [2 x^{2} + y^{2}]$

Etapa 1.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Etapa 1.4

Como $2 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Etapa 1.5

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y)$

Etapa 1.7

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = y (x^{2} + 2 y^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (x^{2} + 2 y^{2})]$

Etapa 2.2

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y (x^{2} + 2 y^{2})$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

Etapa 2.5

Como $2 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x + 0)$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x)$

Etapa 2.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot y x$

Etapa 2.6.3

Reordene os fatores de $2 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $2 x y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y = 2 x y$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$2 x y = 2 x y$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x (2 x^{2} + y^{2}) d x$

Etapa 5

Integre $M (x, y) = x (2 x^{2} + y^{2})$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Expanda $x (2 x^{2} + y^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = \int x (2 x^{2}) + x y^{2} d x$

Etapa 5.1.2

Remova os parênteses.

$f (x, y) = \int x \cdot 2 x^{2} + x y^{2} d x$

Etapa 5.1.3

Reordene $x$ e $2$ .

$f (x, y) = \int 2 x \cdot x^{2} + x y^{2} d x$

Etapa 5.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f (x, y) = \int 2 (x^{1} x^{2}) + x y^{2} d x$

Etapa 5.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x, y) = \int 2 x^{1 + 2} + x y^{2} d x$

Etapa 5.1.6

Some $1$ e $2$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{3} + x y^{2} d x$

Etapa 5.2

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int 2 x^{3} d x + \int x y^{2} d x$

Etapa 5.3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$f (x, y) = 2 \int x^{3} d x + \int x y^{2} d x$

Etapa 5.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x y^{2} d x$

Etapa 5.5

Como $y^{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $y^{2}$ para fora da integral.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + y^{2} \int x d x$

Etapa 5.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 5.7

Simplifique.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 5.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1

Combine $2$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{4} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 5.8.2

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 5.8.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (x, y) = \frac{2 (1)}{4} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 5.8.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 5.8.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 5.8.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 5.8.3

Combine $y^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

Etapa 5.8.4

Combine $\frac{y^{2}}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

Etapa 5.9

Reordene os termos.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Etapa 8.2

Diferencie.

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Etapa 8.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Etapa 8.2.2

Como $\frac{1}{2} x^{4}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{1}{2} x^{4}$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

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Etapa 8.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Etapa 8.3.2

Combine $\frac{y^{2}}{2}$ e $x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Etapa 8.3.3

Como $\frac{x^{2}}{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ em relação a $y$ é $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Etapa 8.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Etapa 8.3.5

Combine $2$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + \frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Etapa 8.3.6

Combine $\frac{2 x^{2}}{2}$ e $y$ .

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Etapa 8.3.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.3.7.1

Cancele o fator comum.

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Etapa 8.3.7.2

Divida $x^{2} y$ por $1$ .

$0 + x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Etapa 8.5

Simplifique.

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Etapa 8.5.1

Some $0$ e $x^{2} y$ .

$x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Etapa 8.5.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 9.1

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Simplifique $y (x^{2} + 2 y^{2})$ .

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Etapa 9.1.1.1

Reescreva.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = 0 + 0 + y (x^{2} + 2 y^{2})$

Etapa 9.1.1.2

Simplifique somando os zeros.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Etapa 9.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + y (2 y^{2})$

Etapa 9.1.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y \cdot y^{2}$

Etapa 9.1.1.5

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 9.1.1.5.1

Mova $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 (y^{2} y)$

Etapa 9.1.1.5.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 9.1.1.5.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 (y^{2} y^{1})$

Etapa 9.1.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y^{2 + 1}$

Etapa 9.1.1.5.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y^{3}$

Etapa 9.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.2.1

Subtraia $x^{2} y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = y x^{2} + 2 y^{3} - x^{2} y$

Etapa 9.1.2.2

Combine os termos opostos em $y x^{2} + 2 y^{3} - x^{2} y$ .

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Etapa 9.1.2.2.1

Reorganize os fatores nos termos $y x^{2}$ e $- x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 2 y^{3} - x^{2} y$

Etapa 9.1.2.2.2

Subtraia $x^{2} y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3} + 0$

Etapa 9.1.2.2.3

Some $2 y^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3}$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $2 y^{3}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 2 y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y^{3} d y$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y^{3} d y$

Etapa 10.3

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$g (y) = 2 \int y^{3} d y$

Etapa 10.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Etapa 10.5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Reescreva $2 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ como $2 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Etapa 10.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = \frac{2}{4} y^{4} + C$

Etapa 10.5.2.2

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$g (y) = \frac{2 (1)}{4} y^{4} + C$

Etapa 10.5.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} y^{4} + C$

Etapa 10.5.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$g (y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} y^{4} + C$

Etapa 10.5.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{4} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Etapa 12

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Etapa 12.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Etapa 12.3

Combine $\frac{y^{2}}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Etapa 12.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{2} + C$