Cálculo Exemplos

$(3 x^{2} + 7 y^{2}) d x + 14 x (y d) y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 3 x^{2} + 7 y^{2}$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} + 7 y^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 7 y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [7 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [7 y^{2}]$

Etapa 1.2.2

Como $3 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [7 y^{2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [7 y^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $7$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $7 y^{2}$ em relação a $y$ é $7 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 7 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 7 (2 y)$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $7$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 14 y$

Etapa 1.4

Some $0$ e $14 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 14 y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 14 x y$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [14 x y]$

Etapa 2.2

Como $14 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $14 x y$ em relação a $x$ é $14 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 14 y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 14 y \cdot 1$

Etapa 2.4

Multiplique $14$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 14 y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $14 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $14 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$14 y = 14 y$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$14 y = 14 y$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 14 x y d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = 14 x y$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Como $14 x$ é constante com relação a $y$ , mova $14 x$ para fora da integral.

$f (x, y) = 14 x \int y d y$

Etapa 5.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 14 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 5.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.3.1

Reescreva $14 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $14 x \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 14 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 5.3.2

Simplifique.

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Etapa 5.3.2.1

Combine $14$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x \frac{14}{2} y^{2} + C$

Etapa 5.3.2.2

Combine $x$ e $\frac{14}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x \cdot 14}{2} y^{2} + C$

Etapa 5.3.2.3

Mova $14$ para a esquerda de $x$ .

$f (x, y) = \frac{14 \cdot x}{2} y^{2} + C$

Etapa 5.3.2.4

Multiplique $14$ por $x$ .

$f (x, y) = \frac{14 x}{2} y^{2} + C$

Etapa 5.3.2.5

Cancele o fator comum de $14$ e $2$ .

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Etapa 5.3.2.5.1

Fatore $2$ de $14 x$ .

$f (x, y) = \frac{2 (7 x)}{2} y^{2} + C$

Etapa 5.3.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.2.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (x, y) = \frac{2 (7 x)}{2 (1)} y^{2} + C$

Etapa 5.3.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{2 (7 x)}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Etapa 5.3.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = \frac{7 x}{1} y^{2} + C$

Etapa 5.3.2.5.2.4

Divida $7 x$ por $1$ .

$f (x, y) = 7 x y^{2} + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = 7 x y^{2} + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x y^{2} + g (x)] = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x y^{2} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x y^{2}]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $7 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x y^{2}$ em relação a $x$ é $7 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Etapa 8.3.3

Multiplique $7$ por $1$ .

$7 y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$7 y^{2} + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Etapa 8.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + 7 y^{2} = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $7 y^{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 7 y^{2} - 7 y^{2}$

Etapa 9.1.2

Combine os termos opostos em $3 x^{2} + 7 y^{2} - 7 y^{2}$ .

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Etapa 9.1.2.1

Subtraia $7 y^{2}$ de $7 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0$

Etapa 9.1.2.2

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $3 x^{2}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 x^{2} d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 x^{2} d x$

Etapa 10.3

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$g (x) = 3 \int x^{2} d x$

Etapa 10.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Etapa 10.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.5.1

Reescreva $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ como $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Etapa 10.5.2

Simplifique.

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Etapa 10.5.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Etapa 10.5.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 10.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Etapa 10.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$g (x) = 1 x^{3} + C$

Etapa 10.5.2.3

Multiplique $x^{3}$ por $1$ .

$g (x) = x^{3} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = 7 x y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = 7 x y^{2} + x^{3} + C$