Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + x e^{x} = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Subtraia $x e^{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} = - x e^{x}$

Etapa 1.2

Reescreva a equação.

$d y = - x e^{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int - x e^{x} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int - x e^{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - \int x e^{x} d x$

Etapa 2.3.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$y + C_{1} = - (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Etapa 2.3.3

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$y + C_{1} = - (x e^{x} - (e^{x} + C_{2}))$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$y + C_{1} = - (x e^{x} - e^{x}) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = - (x e^{x} - e^{x}) + K$