Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y^{3}$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = e^{4 x}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$y^{3} d y = e^{4 x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y^{3} d y = \int e^{4 x} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int e^{4 x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Deixe $u = 4 x$ . Depois, $d u = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = 4 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 2.3.1.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.1.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Etapa 2.3.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.4

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} (e^{u} + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} e^{u} + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} e^{4 x} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} = \frac{1}{4} e^{4 x} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $4$ .

$4 (\frac{1}{4} y^{4}) = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $4 (\frac{1}{4} y^{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $y^{4}$ .

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$y^{4} = 4 (\frac{e^{4 x}}{4} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{4} = 4 \frac{e^{4 x}}{4} + 4 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y^{4} = 4 \frac{e^{4 x}}{4} + 4 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y^{4} = e^{4 x} + 4 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

Etapa 3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

Etapa 3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

Etapa 3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + K}$