Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$ , $y (0) = 2$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$y^{2} d y = x^{2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y^{3} = x^{3} + 3 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 3 K}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$

Etapa 5

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $x$ e $2$ por $y$ em $y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$ .

$2 = \sqrt[3]{0^{3} + K}$

Etapa 6

Resolva $K$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\sqrt[3]{0^{3} + K} = 2$ .

$\sqrt[3]{0^{3} + K} = 2$

Etapa 6.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{0^{3} + K}}^{3} = 2^{3}$

Etapa 6.3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 6.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{0^{3} + K}$ como ${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.1

Simplifique ${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 6.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 6.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Etapa 6.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Etapa 6.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(0^{3} + K)}^{1} = 2^{3}$

Etapa 6.3.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

${(0 + K)}^{1} = 2^{3}$

Etapa 6.3.2.1.3

Some $0$ e $K$ .

$K^{1} = 2^{3}$

Etapa 6.3.2.1.4

Simplifique.

$K = 2^{3}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.3.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$K = 8$

Etapa 7

Substitua $8$ por $K$ em $y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Substitua $8$ por $K$ .

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 8}$

Etapa 7.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 2^{3}}$

Etapa 7.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Etapa 7.4

Simplifique.

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Etapa 7.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}$

Etapa 7.4.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$