Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (5 x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 5 x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 5 x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int 5 x^{4} d x + \int - 2 x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Etapa 2.3.2

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 5 \int x^{4} d x + \int - 2 x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + \int - 2 x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Etapa 2.3.4

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 2 \int x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int x^{2} d x$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.7.1.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 2 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

$y + C_{1} = x^{5} - \frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Etapa 2.3.8

Reordene os termos.

$y + C_{1} = x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + K$