Cálculo Exemplos

$4 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = 0$

Etapa 1

Deixe $v = \frac{d y}{d x}$ . Depois, $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Substitua $v$ por $\frac{d y}{d x}$ e $\frac{d v}{d x}$ por $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ para obter uma equação diferencial com a variável dependente $v$ e a variável independente $x$ .

$4 \frac{d v}{d x} + v = 0$

Etapa 2

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Resolva $\frac{d v}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Subtraia $v$ dos dois lados da equação.

$4 \frac{d v}{d x} = - v$

Etapa 2.1.2

Divida cada termo em $4 \frac{d v}{d x} = - v$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Divida cada termo em $4 \frac{d v}{d x} = - v$ por $4$ .

$\frac{4 \frac{d v}{d x}}{4} = \frac{- v}{4}$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \frac{d v}{d x}}{4} = \frac{- v}{4}$

Etapa 2.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{- v}{4}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{v}{4}$

Etapa 2.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} (- \frac{v}{4})$

Etapa 2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = - \frac{1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

Etapa 2.3.2

Cancele o fator comum de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{v}$ para o numerador.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

Etapa 2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

Etapa 2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{v} d v = - \frac{1}{4} d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{v} d v = \int - \frac{1}{4} d x$

Etapa 3.2

A integral de $\frac{1}{v}$ com relação a $v$ é $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int - \frac{1}{4} d x$

Etapa 3.3

Aplique a regra da constante.

$\ln (| v |) + C_{1} = - \frac{1}{4} x + C_{2}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C_{3}$ .

$\ln (| v |) = - \frac{1}{4} x + C_{3}$

Etapa 4

Resolva $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para resolver $v$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| v |)} = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$

Etapa 4.2

Reescreva $\ln (| v |) = - \frac{1}{4} x + C_{3}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}} = | v |$

Etapa 4.3

Resolva $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Reescreva a equação como $| v | = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$ .

$| v | = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$

Etapa 4.3.2

Combine $x$ e $\frac{1}{4}$ .

$| v | = e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$

Etapa 4.3.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$

Etapa 5

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reescreva $e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$ como $e^{- \frac{x}{4}} e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{- \frac{x}{4}} e^{C_{3}}$

Etapa 5.2

Reordene $e^{- \frac{x}{4}}$ e $e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{C_{3}} e^{- \frac{x}{4}}$

Etapa 5.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$v = C_{4} e^{- \frac{x}{4}}$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = C_{4} e^{- \frac{x}{4}}$

Etapa 7

Reescreva a equação.

$d y = C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

Etapa 8

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

Etapa 8.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{5} = \int C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

Etapa 8.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Como $C_{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $C_{4}$ para fora da integral.

$y + C_{5} = C_{4} \int e^{- \frac{x}{4}} d x$

Etapa 8.3.2

Deixe $u = - \frac{x}{4}$ . Depois, $d u = - \frac{1}{4} d x$ , então, $- 4 d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Deixe $u = - \frac{x}{4}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1.1

Diferencie $- \frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]$

Etapa 8.3.2.1.2

Como $- \frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x}{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot 1$

Etapa 8.3.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{4}$

Etapa 8.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{4}} d u$

Etapa 8.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Etapa 8.3.3.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} (1 \cdot 4) d u$

Etapa 8.3.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \cdot 4 d u$

Etapa 8.3.3.4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - 4 e^{u} d u$

Etapa 8.3.4

Como $- 4$ é constante com relação a $u$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 \int e^{u} d u)$

Etapa 8.3.5

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 (e^{u} + C_{6}))$

Etapa 8.3.6

Simplifique.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{u}) + C_{7}$

Etapa 8.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- \frac{x}{4}$ .

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{- \frac{x}{4}}) + C_{7}$

Etapa 8.3.8

Reordene os termos.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{- \frac{1}{4} x}) + C_{7}$

Etapa 8.3.9

Reordene os termos.

$y + C_{5} = - 4 e^{- \frac{1}{4} x} C_{4} + C_{7}$

Etapa 8.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $D$ .

$y = - 4 e^{- \frac{1}{4} x} C + D$