Cálculo Exemplos

$x d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 1.2

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x^{2} y + 4 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y + 4 y]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} y + 4 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{2} y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Etapa 2.3.3

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + \frac{d}{d x} [4 y]$

Etapa 2.4

Como $4 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Some $2 y x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x$

Etapa 2.5.2

Reordene os fatores de $2 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = 2 x y$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$0 = 2 x y$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $2 x y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - (2 x y)}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $x^{2} y + 4 y$ por $N$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $x^{2} y + 4 y$ por $N$ .

$\frac{0 - (2 x y)}{x^{2} y + 4 y}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0 - 2 x y}{x^{2} y + 4 y}$

Etapa 4.3.2.2

Subtraia $2 x y$ de $0$ .

$\frac{- 2 x y}{x^{2} y + 4 y}$

Etapa 4.3.3

Fatore $y$ de $x^{2} y + 4 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Fatore $y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{- 2 x y}{y x^{2} + 4 y}$

Etapa 4.3.3.2

Fatore $y$ de $4 y$ .

$\frac{- 2 x y}{y x^{2} + y \cdot 4}$

Etapa 4.3.3.3

Fatore $y$ de $y x^{2} + y \cdot 4$ .

$\frac{- 2 x y}{y (x^{2} + 4)}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 4.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x y}{y (x^{2} + 4)}$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2 x}{x^{2} + 4}$

Etapa 4.3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 x}{x^{2} + 4}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$ .

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$

Etapa 5.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x)}$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x}$

Etapa 5.4

Deixe $u = x^{2} + 4$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.4.1

Deixe $u = x^{2} + 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.4.1.1

Diferencie $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Etapa 5.4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 5.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 5.4.1.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 5.4.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 5.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Etapa 5.5

Simplifique.

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Etapa 5.5.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Etapa 5.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Etapa 5.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Etapa 5.7

Simplifique.

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Etapa 5.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 5.7.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 5.7.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 5.7.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.7.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 5.7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 5.7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 5.7.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 5.8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Etapa 5.9

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Etapa 5.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 4$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x^{2} + 4 |)} + C$

Etapa 5.11

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.11.1

Simplifique $- \ln (| x^{2} + 4 |)$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x^{2} + 4 |}^{- 1})} + C$

Etapa 5.11.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x^{2} + 4 |}^{- 1} + C$

Etapa 5.11.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x^{2} + 4 |} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $x d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $x$ por $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$x \frac{1}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

Etapa 6.2

Combine $x$ e $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $x^{2} y + 4 y$ por $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) \frac{1}{x^{2} + 4} d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $x^{2} y + 4 y$ por $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{x^{2} y + 4 y}{x^{2} + 4} d y = 0$

Etapa 6.5

Fatore $y$ de $x^{2} y + 4 y$ .

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Etapa 6.5.1

Fatore $y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y x^{2} + 4 y}{x^{2} + 4} d y = 0$

Etapa 6.5.2

Fatore $y$ de $4 y$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y x^{2} + y \cdot 4}{x^{2} + 4} d y = 0$

Etapa 6.5.3

Fatore $y$ de $y x^{2} + y \cdot 4$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} d y = 0$

Etapa 6.6

Cancele o fator comum de $x^{2} + 4$ .

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Etapa 6.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} d y = 0$

Etapa 6.6.2

Divida $y$ por $1$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + y d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = y$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Etapa 11.3

Como $\frac{1}{2} y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Etapa 11.5

Some $0$ e $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Etapa 12

Encontre a antiderivada de $\frac{x}{x^{2} + 4}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 12.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 12.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 12.3

Deixe $u = x^{2} + 4$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 12.3.1

Deixe $u = x^{2} + 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1.1

Diferencie $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Etapa 12.3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 12.3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 12.3.1.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 12.3.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 12.3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$g (x) = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 12.4

Simplifique.

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Etapa 12.4.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 12.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$g (x) = \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

Etapa 12.4.3

Multiplique $2$ por $u$ .

$g (x) = \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 12.5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$g (x) = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 12.6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$g (x) = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 12.7

Simplifique.

$g (x) = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Etapa 12.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 4$ .

$g (x) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

Etapa 13

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

Etapa 14

Simplifique $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$ .

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Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

Etapa 14.1.2

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Etapa 14.2

Para escrever $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Etapa 14.3

Combine $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 14.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 14.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.5.1

Multiplique $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.5.1.1

Reordene $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ e $2$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} + 2 \cdot \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

Etapa 14.5.1.2

Simplifique $2 \cdot \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

Etapa 14.5.2

Multiplique os expoentes em ${({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 14.5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Etapa 14.5.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 14.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Etapa 14.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{1})}{2} + C$

Etapa 14.5.3

Simplifique.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln (| x^{2} + 4 |)}{2} + C$