Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = x \cos (8 x^{2})$ , $y (0) = 8$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = x \cos (8 x^{2}) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int x \cos (8 x^{2}) d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int x \cos (8 x^{2}) d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = 8 x^{2}$ . Depois, $d u = 16 x d x$ , então, $\frac{1}{16} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = 8 x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $8 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Etapa 2.3.1.1.2

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{2}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$8 (2 x)$

Etapa 2.3.1.1.4

Multiplique $2$ por $8$ .

$16 x$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int \cos (u) \frac{1}{16} d u$

Etapa 2.3.2

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{16}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\cos (u)}{16} d u$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{16}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{16}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \int \cos (u) d u$

Etapa 2.3.4

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{16} (\sin (u) + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \sin (u) + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $x$ e $8$ por $y$ em $y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$ .

$8 = \frac{1}{16} \sin (8 \cdot 0^{2}) + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K = 8$ .

$\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K = 8$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique $\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K$ .

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Etapa 4.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0) + K = 8$

Etapa 4.2.1.1.2

Multiplique $8$ por $0$ .

$\frac{1}{16} \cdot \sin (0) + K = 8$

Etapa 4.2.1.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{16} \cdot 0 + K = 8$

Etapa 4.2.1.1.4

Multiplique $\frac{1}{16}$ por $0$ .

$0 + K = 8$

Etapa 4.2.1.2

Some $0$ e $K$ .

$K = 8$

Etapa 5

Substitua $8$ por $K$ em $y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $8$ por $K$ .

$y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + 8$

Etapa 5.2

Combine $\frac{1}{16}$ e $\sin (8 x^{2})$ .

$y = \frac{\sin (8 x^{2})}{16} + 8$