Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{5} = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $\frac{y}{5}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{5}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{5})$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{5}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y}$ para o numerador.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{5}$

Etapa 1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{5}$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{5}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{5} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{5} d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{5} d x$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{5} x + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{5} x + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{5} x + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y |) = - \frac{1}{5} x + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{5} x + C} = | y |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{- \frac{1}{5} x + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{1}{5} x + C}$

Etapa 3.3.2

Combine $x$ e $\frac{1}{5}$ .

$| y | = e^{- \frac{x}{5} + C}$

Etapa 3.3.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{x}{5} + C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva $e^{- \frac{x}{5} + C}$ como $e^{- \frac{x}{5}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{x}{5}} e^{C}$

Etapa 4.2

Reordene $e^{- \frac{x}{5}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{x}{5}}$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{- \frac{x}{5}}$