Cálculo Exemplos

$(y^{4} + 2 y) d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y^{4} + 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{4} + 2 y]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{4} + 2 y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + \frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2 \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $y^{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y^{3}$ em relação a $x$ é $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $y^{3}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 2.4

Como $2 y^{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y^{4}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 2.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Etapa 2.5.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4 \cdot 1$

Etapa 2.5.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4$

Etapa 2.6

Some $y^{3}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} - 4$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $4 y^{3} + 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $y^{3} - 4$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 y^{3} + 2 = y^{3} - 4$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$4 y^{3} + 2 = y^{3} - 4$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $y^{3} - 4$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y^{3} - 4 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $4 y^{3} + 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3} + 2)}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $y^{4} + 2 y$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $y^{4} + 2 y$ por $M$ .

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3} + 2)}{y^{4} + 2 y}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3}) - 1 \cdot 2}{y^{4} + 2 y}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{y^{3} - 4 - 4 y^{3} - 1 \cdot 2}{y^{4} + 2 y}$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{y^{3} - 4 - 4 y^{3} - 2}{y^{4} + 2 y}$

Etapa 4.3.2.4

Subtraia $4 y^{3}$ de $y^{3}$ .

$\frac{- 3 y^{3} - 4 - 2}{y^{4} + 2 y}$

Etapa 4.3.2.5

Subtraia $2$ de $- 4$ .

$\frac{- 3 y^{3} - 6}{y^{4} + 2 y}$

Etapa 4.3.2.6

Fatore $3$ de $- 3 y^{3} - 6$ .

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Etapa 4.3.2.6.1

Fatore $3$ de $- 3 y^{3}$ .

$\frac{3 (- y^{3}) - 6}{y^{4} + 2 y}$

Etapa 4.3.2.6.2

Fatore $3$ de $- 6$ .

$\frac{3 (- y^{3}) + 3 (- 2)}{y^{4} + 2 y}$

Etapa 4.3.2.6.3

Fatore $3$ de $3 (- y^{3}) + 3 (- 2)$ .

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y^{4} + 2 y}$

Etapa 4.3.3

Fatore $y$ de $y^{4} + 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Fatore $y$ de $y^{4}$ .

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y \cdot y^{3} + 2 y}$

Etapa 4.3.3.2

Fatore $y$ de $2 y$ .

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y \cdot y^{3} + y \cdot 2}$

Etapa 4.3.3.3

Fatore $y$ de $y \cdot y^{3} + y \cdot 2$ .

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y (y^{3} + 2)}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $- y^{3} - 2$ e $y^{3} + 2$ .

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Etapa 4.3.4.1

Fatore $- 1$ de $- y^{3}$ .

$\frac{3 (- (y^{3}) - 2)}{y (y^{3} + 2)}$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{3 (- (y^{3}) - 1 (2))}{y (y^{3} + 2)}$

Etapa 4.3.4.3

Fatore $- 1$ de $- (y^{3}) - 1 (2)$ .

$\frac{3 (- (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

Etapa 4.3.4.4

Reescreva $- (y^{3} + 2)$ como $- 1 (y^{3} + 2)$ .

$\frac{3 (- 1 (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

Etapa 4.3.4.5

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- 1 (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

Etapa 4.3.4.6

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

Etapa 4.3.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{- 3}{y}$

Etapa 4.3.6

Substitua $y^{4} + 2 y$ por $M$ .

$- \frac{3}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Etapa 5.2

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 5.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.6.1

Simplifique $- 3 \ln (| y |)$ movendo $- 3$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Etapa 5.6.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(y^{4} + 2 y) d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y^{3}}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $y^{4} + 2 y$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$(y^{4} + 2 y) \frac{1}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $y^{4} + 2 y$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{4} + 2 y}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Etapa 6.3

Fatore $y$ de $y^{4} + 2 y$ .

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Etapa 6.3.1

Fatore $y$ de $y^{4}$ .

$\frac{y \cdot y^{3} + 2 y}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Etapa 6.3.2

Fatore $y$ de $2 y$ .

$\frac{y \cdot y^{3} + y \cdot 2}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Etapa 6.3.3

Fatore $y$ de $y \cdot y^{3} + y \cdot 2$ .

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Etapa 6.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.4.1

Fatore $y$ de $y^{3}$ .

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y \cdot y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Etapa 6.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y \cdot y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Etapa 6.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Etapa 6.6

Multiplique $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = \frac{y^{3} + 2}{y^{2}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \frac{y^{3} + 2}{y^{2}} x + C$

Etapa 8.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.2.1

Combine $\frac{y^{3} + 2}{y^{2}}$ e $x$ .

$f (x, y) = \frac{(y^{3} + 2) x}{y^{2}} + C$

Etapa 8.2.2

Reescreva $\frac{(y^{3} + 2) x}{y^{2}} + C$ como $\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}]$ .

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Etapa 11.3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ é $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , em que $f (y) = y^{3} x + 2 x$ e $g (y) = y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \frac{d}{d y} [y^{3} x + 2 x] - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{3} x + 2 x$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [2 x]$ .

$\frac{y^{2} (\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.3.3

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y^{3} x$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{y^{2} (x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.3.5

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + 0) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + 0) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.3.7

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{y^{2} (3 \cdot x y^{2} + 0) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.3.8

Some $3 x y^{2}$ e $0$ .

$\frac{y^{2} (3 x y^{2}) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.3.9

Multiplique $y^{2}$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.3.9.1

Mova $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} y^{2} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.3.9.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y^{2 + 2} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.3.9.3

Some $2$ e $2$ .

$\frac{y^{4} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.3.10

Mova $3$ para a esquerda de $y^{4}$ .

$\frac{3 \cdot y^{4} x - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.3.11

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.3.12

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{2}$ .

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Etapa 11.3.12.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.3.12.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.3.13

Fatore $y$ de $3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.13.1

Fatore $y$ de $3 y^{4} x$ .

$\frac{y (3 y^{3} x) - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.3.13.2

Fatore $y$ de $- 2 (y^{3} x + 2 x) y$ .

$\frac{y (3 y^{3} x) + y (- 2 (y^{3} x + 2 x))}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.3.13.3

Fatore $y$ de $y (3 y^{3} x) + y (- 2 (y^{3} x + 2 x))$ .

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.3.14

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.14.1

Fatore $y$ de $y^{4}$ .

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y \cdot y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.3.14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y \cdot y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.3.14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x)}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x)}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x) - 2 (2 x)}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.5.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.2.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{3 y^{3} x - 2 y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.5.2.2

Subtraia $2 y^{3} x$ de $3 y^{3} x$ .

$\frac{1 y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.5.2.3

Multiplique $y^{3}$ por $1$ .

$\frac{y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.5.2.4

Para escrever $\frac{d g}{d y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y^{3}}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.5.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{y^{3} x - 4 x + \frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 11.5.3

Reordene os termos.

$\frac{y^{3} x + y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 12.1.1

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$y^{3} x + y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$

Etapa 12.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.2.1

Subtraia $y^{3} x$ dos dois lados da equação.

$y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x$

Etapa 12.1.2.2

Some $4 x$ aos dois lados da equação.

$y^{3} \frac{d g}{d y} = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$

Etapa 12.1.2.3

Combine os termos opostos em $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$ .

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Etapa 12.1.2.3.1

Reorganize os fatores nos termos $x y^{3}$ e $- y^{3} x$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = y^{3} x + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$

Etapa 12.1.2.3.2

Subtraia $y^{3} x$ de $y^{3} x$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} - 4 x + 0 + 4 x$

Etapa 12.1.2.3.3

Some $2 y^{4} - 4 x$ e $0$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} - 4 x + 4 x$

Etapa 12.1.2.3.4

Some $- 4 x$ e $4 x$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} + 0$

Etapa 12.1.2.3.5

Some $2 y^{4}$ e $0$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$

Etapa 12.1.3

Divida cada termo em $y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$ por $y^{3}$ e simplifique.

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Etapa 12.1.3.1

Divida cada termo em $y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$ por $y^{3}$ .

$\frac{y^{3} \frac{d g}{d y}}{y^{3}} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

Etapa 12.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 12.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $y^{3}$ .

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Etapa 12.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{3} \frac{d g}{d y}}{y^{3}} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

Etapa 12.1.3.2.1.2

Divida $\frac{d g}{d y}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

Etapa 12.1.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.1.3.3.1

Cancele o fator comum de $y^{4}$ e $y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.3.1.1

Fatore $y^{3}$ de $2 y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3}}$

Etapa 12.1.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.1.3.3.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3} \cdot 1}$

Etapa 12.1.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3} \cdot 1}$

Etapa 12.1.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y}{1}$

Etapa 12.1.3.3.1.2.4

Divida $2 y$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $2 y$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y d y$

Etapa 13.3

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$g (y) = 2 \int y d y$

Etapa 13.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 13.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 13.5.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Etapa 13.5.2

Simplifique.

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Etapa 13.5.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Etapa 13.5.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 13.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Etapa 13.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

Etapa 13.5.2.3

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$g (y) = y^{2} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$

Etapa 15

Simplifique $f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$ .

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Etapa 15.1

Fatore $x$ de $y^{3} x + 2 x$ .

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Etapa 15.1.1

Fatore $x$ de $y^{3} x$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$

Etapa 15.1.2

Fatore $x$ de $2 x$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x \cdot 2}{y^{2}} + y^{2} + C$

Etapa 15.1.3

Fatore $x$ de $x y^{3} + x \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2)}{y^{2}} + y^{2} + C$

Etapa 15.2

Para escrever $y^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2)}{y^{2}} + \frac{y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

Etapa 15.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2) + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

Etapa 15.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x \cdot 2 + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

Etapa 15.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 \cdot x + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

Etapa 15.4.3

Multiplique $y^{2}$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 15.4.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x + y^{2 + 2}}{y^{2}} + C$

Etapa 15.4.3.2

Some $2$ e $2$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x + y^{4}}{y^{2}} + C$