Cálculo Exemplos

$\frac{d f}{d x} = - 5 x^{2} - 5 e^{x}$ , $f (0) = - 16$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d f = (- 5 x^{2} - 5 e^{x}) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d f = \int - 5 x^{2} - 5 e^{x} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$f + C_{1} = \int - 5 x^{2} - 5 e^{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f + C_{1} = \int - 5 x^{2} d x + \int - 5 e^{x} d x$

Etapa 2.3.2

Como $- 5$ é constante com relação a $x$ , mova $- 5$ para fora da integral.

$f + C_{1} = - 5 \int x^{2} d x + \int - 5 e^{x} d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 5 e^{x} d x$

Etapa 2.3.4

Como $- 5$ é constante com relação a $x$ , mova $- 5$ para fora da integral.

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 5 \int e^{x} d x$

Etapa 2.3.5

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 5 (e^{x} + C_{3})$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Simplifique.

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3}) x^{3} - 5 e^{x} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.2.1

Combine $- 5$ e $\frac{1}{3}$ .

$f + C_{1} = \frac{- 5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f + C_{1} = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $x$ e $- 16$ por $f$ em $f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + K$ .

$- 16 = - \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K = - 16$ .

$- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K = - 16$

Etapa 4.2

Simplifique $- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K$ .

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{5}{3} \cdot 0 - 5 e^{0} + K = - 16$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $- \frac{5}{3} \cdot 0$ .

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Etapa 4.2.1.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$0 (\frac{5}{3}) - 5 e^{0} + K = - 16$

Etapa 4.2.1.2.2

Multiplique $0$ por $\frac{5}{3}$ .

$0 - 5 e^{0} + K = - 16$

Etapa 4.2.1.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 - 5 \cdot 1 + K = - 16$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$0 - 5 + K = - 16$

Etapa 4.2.2

Subtraia $5$ de $0$ .

$- 5 + K = - 16$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$K = - 16 + 5$

Etapa 4.3.2

Some $- 16$ e $5$ .

$K = - 11$

Etapa 5

Substitua $- 11$ por $K$ em $f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $- 11$ por $K$ .

$f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} - 11$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Combine $x^{3}$ e $\frac{5}{3}$ .

$f = - \frac{x^{3} \cdot 5}{3} - 5 e^{x} - 11$

Etapa 5.2.2

Mova $5$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$f = - \frac{5 x^{3}}{3} - 5 e^{x} - 11$