Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2$

Etapa 1

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + 2$

Etapa 2

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 3

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 4

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 2$

Etapa 5

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 5.1

Separe as variáveis.

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Etapa 5.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1.1.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = V + 2 - V$

Etapa 5.1.1.1.2

Combine os termos opostos em $V + 2 - V$ .

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Etapa 5.1.1.1.2.1

Subtraia $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + 2$

Etapa 5.1.1.1.2.2

Some $0$ e $2$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2$

Etapa 5.1.1.2

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = 2$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 5.1.1.2.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = 2$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2}{x}$

Etapa 5.1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2}{x}$

Etapa 5.1.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2}{x}$

Etapa 5.1.2

Reescreva a equação.

$d V = \frac{2}{x} d x$

Etapa 5.2

Integre os dois lados.

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Etapa 5.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d V = \int \frac{2}{x} d x$

Etapa 5.2.2

Aplique a regra da constante.

$V + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Etapa 5.2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$V + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$V + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 5.2.3.3

Simplifique.

$V + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 5.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$V = 2 \ln (| x |) + C$

Etapa 6

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + C$

Etapa 7

Resolva $\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + C$ para $y$ .

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Etapa 7.1

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (2 \ln (| x |) + C) x$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = (2 \ln (| x |) + C) x$

Etapa 7.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = (2 \ln (| x |) + C) x$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.1

Simplifique $(2 \ln (| x |) + C) x$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.2.1.1.1

Simplifique $2 \ln (| x |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$y = (\ln ({| x |}^{2}) + C) x$

Etapa 7.2.2.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$y = (\ln (x^{2}) + C) x$

Etapa 7.2.2.1.2

Simplifique multiplicando.

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Etapa 7.2.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \ln (x^{2}) x + C x$

Etapa 7.2.2.1.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.2.2.1.2.2.1

Reordene os fatores em $\ln (x^{2}) x + C x$ .

$y = x \ln (x^{2}) + C x$

Etapa 7.2.2.1.2.2.2

Reordene $x \ln (x^{2})$ e $C x$ .

$y = C x + x \ln (x^{2})$