Cálculo Exemplos

$(2 x + x^{3} + 3 y) d x + (3 x + 2 y) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 x + x^{3} + 3 y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + x^{3} + 3 y]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + x^{3} + 3 y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y]$

Etapa 1.2.2

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y]$

Etapa 1.2.3

Como $x^{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{3}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{d}{d y} [3 y]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 y$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + 3 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + 3 \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + 3$

Etapa 1.4

Combine os termos.

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Etapa 1.4.1

Some $0$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3$

Etapa 1.4.2

Some $0$ e $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 3 x + 2 y$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x + 2 y]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 2 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $3$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $3$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $3$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 = 3$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$3 = 3$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x + 2 y d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = 3 x + 2 y$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int 3 x d y + \int 2 y d y$

Etapa 5.2

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = 3 x y + C + \int 2 y d y$

Etapa 5.3

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$f (x, y) = 3 x y + C + 2 \int y d y$

Etapa 5.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 3 x y + C + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 5.5

Simplifique.

$f (x, y) = 3 x y + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Etapa 5.6

Simplifique.

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Etapa 5.6.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = 3 x y + \frac{2}{2} y^{2} + C$

Etapa 5.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.6.2.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = 3 x y + \frac{2}{2} y^{2} + C$

Etapa 5.6.2.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = 3 x y + 1 y^{2} + C$

Etapa 5.6.3

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$f (x, y) = 3 x y + y^{2} + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = 3 x y + y^{2} + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + x^{3} + 3 y$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x y + y^{2} + g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x y + y^{2} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $3 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x y$ em relação a $x$ é $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Etapa 8.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 y + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Etapa 8.4

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 y + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Etapa 8.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$3 y + 0 + \frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3} + 3 y$

Etapa 8.6

Simplifique.

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Etapa 8.6.1

Some $3 y$ e $0$ .

$3 y + \frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3} + 3 y$

Etapa 8.6.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + 3 y = 2 x + x^{3} + 3 y$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $3 y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3} + 3 y - 3 y$

Etapa 9.1.2

Combine os termos opostos em $2 x + x^{3} + 3 y - 3 y$ .

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Etapa 9.1.2.1

Subtraia $3 y$ de $3 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3} + 0$

Etapa 9.1.2.2

Some $2 x + x^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3}$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $2 x + x^{3}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x + x^{3} d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x + x^{3} d x$

Etapa 10.3

Divida a integral única em várias integrais.

$g (x) = \int 2 x d x + \int x^{3} d x$

Etapa 10.4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$g (x) = 2 \int x d x + \int x^{3} d x$

Etapa 10.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x^{3} d x$

Etapa 10.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Etapa 10.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Etapa 10.8

Simplifique.

$g (x) = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = 3 x y + y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = 3 x y + y^{2} + x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Etapa 12

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$f (x, y) = 3 x y + y^{2} + x^{2} + \frac{x^{4}}{4} + C$