Cálculo Exemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 y = 4 e^{- x}$

Etapa 1

Assuma que todas as soluções são da forma $y = e^{r x}$ .

Etapa 2

Encontre a equação característica para $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 y = 4 e^{- x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Etapa 2.3

Substitua na equação diferencial.

$r^{2} e^{r x} - 4 e^{r x} = 4 e^{- x}$

Etapa 2.4

Fatore $e^{r x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Fatore $e^{r x}$ de $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - 4 e^{r x} = 4 e^{- x}$

Etapa 2.4.2

Fatore $e^{r x}$ de $- 4 e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 4 = 4 e^{- x}$

Etapa 2.4.3

Fatore $e^{r x}$ de $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 4$ .

$e^{r x} (r^{2} - 4) = 4 e^{- x}$

Etapa 2.5

Como as exponenciais nunca podem ser zero, divida ambos os lados por $e^{r x}$ .

$r^{2} - 4 = 4 e^{- x}$

Etapa 3

Resolva $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$r^{2} = 4 e^{- x} + 4$

Etapa 3.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$r = \pm \sqrt{4 e^{- x} + 4}$

Etapa 3.3

Simplifique $\pm \sqrt{4 e^{- x} + 4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Fatore $4$ de $4 e^{- x} + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Fatore $4$ de $4 e^{- x}$ .

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x}) + 4}$

Etapa 3.3.1.2

Fatore $4$ de $4$ .

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x}) + 4 (1)}$

Etapa 3.3.1.3

Fatore $4$ de $4 (e^{- x}) + 4 (1)$ .

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x} + 1)}$

Etapa 3.3.2

Reescreva $4 (e^{- x} + 1)$ como $2^{2} (e^{- x} + 1^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$r = \pm \sqrt{2^{2} (e^{- x} + 1)}$

Etapa 3.3.2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$r = \pm \sqrt{2^{2} (e^{- x} + 1^{2})}$

Etapa 3.3.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$r = \pm 2 \sqrt{e^{- x} + 1^{2}}$

Etapa 3.3.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$r = \pm 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

Etapa 3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

Etapa 3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

Etapa 3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

Etapa 4

Com os dois valores encontrados de $r$ , duas soluções podem ser construídas.

$y_{1} = e^{2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$

$y_{2} = e^{- 2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$

Etapa 5

Pelo princípio da superposição, a solução geral é uma combinação linear das duas soluções para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem.

$y = c_{1} e^{2 \sqrt{e^{- x} + 1} x} + c_{2} e^{- 2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$